Otras carreras Cálculo de áreas con integrales definidas

Hola, buenas tardes. Tengo inconvenientes al intentar calcular el área de la región limitada por curvas, en particular, con 2 ejercicios:

1- y=2x, y=x, y=x^3. Respuesta de módulo = 3/2 pero en http://www.wolframalpha.com/input/?i=Find+the+area+enclosed+by+y%3D2x%2C+y%3Dx%2C+y%3Dx^3 me da otro resultado (-3/4)
En este ejercicio realicé igualación entre todas las y, logrando muchos puntos de corte: x=0, x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2} , x=-1 y x=1
Se me ocurrió hacer integral de 0 a \sqrt{2} de 2xdx + integral de 1 a \sqrt{2} de x^3 - integral de 0 a 1 de x. Integré y por regla de barrow llego a 9/4, ahora bien veo que no lo estoy haciendo bien porque la igualación de y me sirve solo si hay un triángulo y aquí no lo hay verdad?.

2- y=x^2 - 5; y=4|x|
Aquí me complicó exageradamente el tema del valor absoluto, lo desglosé en
y = 4x si x>=0 e y=-4x si x<0
Iguale el y = x^2 -5 a estos y desglosados, resultando x=5 y x=-1 para la primera y x=1 e x=-5 para la segunda.

La integral la realicé entre -5 y 5 pero mi primer problema es este, de todo eso que hice arriba, cómo decido estos límites (yo los supuse por ser los más "a las puntas"). El integrando es(4|x|-x^2+5)dx; integrando y gracias a Barrow llego a -100/3. No tengo respuesta en módulo pero calculando en internet la respuesta es 200/3
http://www.wolframalpha.com/input/?_=1310179375920&i=Find+the+area+enclosed+by+y%3dx^2-5+and+y%3d4|x|&fp=1&incTime=true

En la cursada vimos la teoría de integral definida, regla de Barrow y cálculo de 2 áreas (muy simples) es por esto que me siento bastante perdido.
¡Muchas gracias!

Lucas

[Al2000]

Re: Cálculo de áreas con integrales definidas

La primera me da $\dst A = 2 \left[\int_{0}^{1}\!\! (y_1 - y_2)\,dx + \int_{1}^{\sqrt 2}\!\! (y_1 - y_3)\, dx\right] = \frac 3 2$

La segunda me da $\dst A = 2 \left[\int_{0}^{5}\!\! (y_1 - y_2)\,dx \right] = \frac {200} 3$

Saludos,

Al

PD.

...
2- y=x^2 - 5; y=4|x|
Aquí me complicó exageradamente el tema del valor absoluto, lo desglosé en
y = 4x si x>=0 e y=-4x si x<0
Iguale el y = x^2 -5 a estos y desglosados, resultando x=5 y x=-1 para la primera y x=1 e x=-5 para la segunda.

La integral la realicé entre -5 y 5 pero mi primer problema es este, de todo eso que hice arriba, cómo decido estos límites...

¿Recuerdas que previamente dijiste que separaste el valor absoluto en dos regiones, una para $x \geqslant 0$ y otra para $x<0$? Entonces cuando iguales $\dst y = x^2 - 5$ con $y = 4 x$, la solución $x = -1$ no es válida (no está en la región en la que se define $y = 4 x$). Lo mismo para la región correspondiente a las $x$'s negativas: la solución $x = 1$ no es válida por estar fuera del dominio de $y = -4 x\,,\,\,x < 0$.

[visitante20131108]

Re: Cálculo de áreas con integrales definidas

Gracias Al2000, efectivamente tus respuestas son correctas pero le dí mil vueltas a los ejercicios y no encuentro en dónde fallo. ¿Te molestaría hacer un planteo general de los ejercicios? En especial creo que en el segundo ejercicio me equivoco al integrar el valor absoluto.
Gracias por el planteo de cómo decidir los límites, era muy sencillo pero no me dí cuenta. Muchas gracias.

[Al2000]

Re: Cálculo de áreas con integrales definidas

... ¿Te molestaría hacer un planteo general de los ejercicios? En especial creo que en el segundo ejercicio me equivoco al integrar el valor absoluto...

Estás poniendo la carreta delante del burro (no hay ninguna alusión). Tu pon lo que hiciste para que todas las pirañas que estamos por aquí le podamos caer encima y te podamos decir donde te equivocas.

Saludos,

Al

[visitante20131108]

Re: Cálculo de áreas con integrales definidas

En el primer caso igualé todas las y, es decir:
- 2x=x ---> x=0
- 2x=x^3 -> x^3-2x=0 ---> x=\sqrt{2} x=-\sqrt{2} x=0
- x=x^3 -> x^3-x=0 ---> x=1 x=-1 x=0
Lo que me confunde enormemente es el gráfico, hay un cruce de curvas bastante extraño (por lo menos para mí que estudio biología y veo matemática básica, que aún así no me sale ajajaj) que se puede ver en http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3D2x+and+y%3Dx+and+y%3Dx^3
A razón de no estar seguro respecto al gráfico realicé los siguientes cálculos (y pido mil disculpas por no saber utilizar LaTex):
Integral 2x dx 'entre' 0 y \sqrt{2} + integral x^3 dx 'entre' 1 y \sqrt{2} - integral de x 'entre' 0 y 1. Integrando me da x^2 entre 0 y \sqrt{2} + (x^4)/4 entre 1 y \sqrt{2} - (x^2)/2 entre 0 y 1.
Apliqué regla de Barrow llegando a 9/4 (que si multiplico por dos tampoco me da el resultado esperado).
------------------------------------------------
Respecto del segundo ejercicio y retomando luego de la aclaración de límites, realicé:
Integral de (4|x|-x^2+5)dx 'entre' -5 y 5. Integré (y aquí aclaro que nunca integré nada con valor absoluto por eso no sabía que realizar) quedándome 2(|x|^2) - (x^3)/3 + 5x entre -5 y 5. Aplico Barrow, resultando:
{2.|5|^2 - (5^3)/3 + 5.5} - {2.|-5|^2 - [(-5)^3]/3 + 5.(-5)}
= {50 - 125/3 +25} - {50+125/3-25 =-100/3 = frustración jajaj

Aprovecho para pedir disculpas por mi anterior pedido de ejercicios, aprovecharé esta oportunidad para profundizar el conocimiento. Además, me gustaría si me diesen algún tip de cómo escribir tan prolijamente como tú Al2000 porque no encuentro un "teclado completo" de LaTex sino sólo los comandos frecuentes.
Muchas Gracias a todos por su ayuda y disculpen la desprolijidad, de a poco entenderé más el foro.

[Caifan]

Re: Cálculo de áreas con integrales definidas

Dentro de La web de Física hay mucho contenido sobre LaTex. Una buena introducción a este procesador la encuentras en http://www.lawebdefisica.com/latex/. Ahí puedes encontrar varios documentos que pueden ayudarte a introducirte a este, el cual no sólamente sirve para escribir en matemáticas, sino que genera documentos que se ven muy bien a la vista, tratandose por ejemplo de una investigación o un reporte de laboratorio.

[Al2000]

Re: Cálculo de áreas con integrales definidas

Esta respuesta va a ser un poco larga, pero tu te lo buscaste... Total, no tengo nada mejor que hacer excepto irme a dormir (aquí son las 23:28). Considerando que me levanté de la cama a las cuatro de la tarde, estoy fresquito Tengo sonando en el fondo algo de rock viejo (Alan Parsons) y todos duermen en la casa (hasta el perro).

En el primer caso igualé todas las y, es decir:
- 2x=x ---> x=0
- 2x=x^3 -> x^3-2x=0 ---> x=\sqrt{2} x=-\sqrt{2} x=0
- x=x^3 -> x^3-x=0 ---> x=1 x=-1 x=0
Lo que me confunde enormemente es el gráfico, hay un cruce de curvas bastante extraño (por lo menos para mí que estudio biología y veo matemática básica, que aún así no me sale ajajaj) que se puede ver en http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3D2x+and+y%3Dx+and+y%3Dx^3
A razón de no estar seguro respecto al gráfico realicé los siguientes cálculos (y pido mil disculpas por no saber utilizar LaTex):
Integral 2x dx 'entre' 0 y \sqrt{2} + integral x^3 dx 'entre' 1 y \sqrt{2} - integral de x 'entre' 0 y 1. Integrando me da x^2 entre 0 y \sqrt{2} + (x^4)/4 entre 1 y \sqrt{2} - (x^2)/2 entre 0 y 1.
Apliqué regla de Barrow llegando a 9/4 (que si multiplico por dos tampoco me da el resultado esperado)...

Empiezo por pegar una copia de la pantalla del cálculo que hice para mi respuesta original:



Si le metes la lupa a la mini-gráfica podrás ver algo similar a lo que habrás graficado en Wolframalpha. He sombreado en gris el área comprendida entre las tres curvas y señalado con círculos las intersecciones. A la derecha del micrográfico están los cálculos. Como yo soy muy haragán, se lo dejo todo al computador. La sintaxis es sencilla y debería ser claro lo que se hace.

Ahora te explico lo que hago en la última línea, el cálculo del área. El área comprendida entre dos curvas $\dst f_{(x)}$ y $\dst g_{(x)}$ entre las coordenadas $x_1$ y $x_2$ viene dada por

$$A = \int_{x_1}^{x_2}\!\! \left(f_{(x)} - g_{(x)}\right)\,dx$$

donde $\dst f_{(x)}$ es la curva superior y $\dst g_{(x)}$ la inferior.

De la observación del gráfico (y mas importante, de las funciones, pero eso te lo debo) puede reconocerse que las dos áreas sombreadas son iguales y podemos calcular sólo una de ellas y multiplicar por 2. Concentrándonos en la parte de arriba, podemos ver que el área encerrada, que es casi un triángulo (excepto que tiene un lado curvo), se puede subdividir en dos secciones, una que va desde $x = 0$ hasta $x = 1$ comprendida entre las dos rectas $y_1$ y $y_2$, y otra que va desde $x = 1$ hasta $x = \sqrt 2$ comprendida entre $y_1$ y $y_3$. Pues bueno, ese es el cálculo hecho en la última línea de la copia de pantalla.

...
Respecto del segundo ejercicio y retomando luego de la aclaración de límites, realicé:
Integral de (4|x|-x^2+5)dx 'entre' -5 y 5. Integré (y aquí aclaro que nunca integré nada con valor absoluto por eso no sabía que realizar) quedándome 2(|x|^2) - (x^3)/3 + 5x entre -5 y 5. Aplico Barrow, resultando:
{2.|5|^2 - (5^3)/3 + 5.5} - {2.|-5|^2 - [(-5)^3]/3 + 5.(-5)}
= {50 - 125/3 +25} - {50+125/3-25 =-100/3 = frustración jajaj
...

Camarada, aquí se aplica lo mismo que el anterior, sólo que es mas fácil. Si entendiste lo de arriba, no deberías tener problema resolviéndolo.

Sólo quería hacerte un comentario respecto a lo integrar un valor absoluto. Siempre puedes hacer lo mismo que hiciste al buscar las raices, es decir, separar la integral en dos partes dependiendo del signo del integrando. Me explico... si quieres calcular

$$A = \int_{-5}^{5}\!\! \left(4 |x| - x^2 + 5\right)\, dx$$

siempre lo puedes hacer como

$$A = \int_{-5}^{0}\!\! \left(-4 x - x^2 + 5\right)\, dx + \int_{0}^{5}\!\! \left(4 x - x^2 + 5\right)\, dx$$

aunque en este caso es mas fácil reconocer la simetría e integrar sólo la mitad positiva y multiplicar por 2:

$$A = 2 \int_{0}^{5}\!\! \left(4 x - x^2 + 5\right)\, dx$$

...
Aprovecho para pedir disculpas por mi anterior pedido de ejercicios, aprovecharé esta oportunidad para profundizar el conocimiento. Además, me gustaría si me diesen algún tip de cómo escribir tan prolijamente como tú Al2000 porque no encuentro un "teclado completo" de LaTex sino sólo los comandos frecuentes.
Muchas Gracias a todos por su ayuda y disculpen la desprolijidad, de a poco entenderé más el foro.

Además de la recomendación de Caifan, permíteme darte un par de tips:

- Para que el editor del foro interprete lo que escribes como un texto matémático, debes encerrarlo entre las etiquetas [TEX][/TEX], de este modo: [TEX]4 |x| - x^2 + 5[/TEX] se ve como $4 |x| - x^2 + 5$.

- Si quieres ver el código de lo que alguien escribió, puedes hacer doble-click en la ecuación. De la ventana que se abre podrás copiar el código si lo deseas.

Saludos,

Al

[visitante20131108]

Re: Cálculo de áreas con integrales definidas

Impresionante Al2000, te agradezco inmensamente, al final con excelente explicación lo entendí perfectamente (y también entendí que no eran para nada complicados). Tengo una última pregunta, sólo de curioso, ¿qué programa utilizaste para el ejercicio? Pregunto porque veo que se puede trabajar mejor con gráficos de áreas y "sombrearlas", delimitarlas en rectas, etc. Sirve para despistados como yo que se pierden con los gráficos. Además, todavía no encontré el hilo en el foro donde se listen o recomienden programas jaja.
Evidentemente tenemos diferencia horaria aquí en Argentina respecto de Venezuela porque mientras tú realizabas la explicación aquí era ya madrugada. En fin, ¡vivan las noches haciendo cálculos! jajaja. Muchas Gracias nuevamente por semejante molestia.
Saludos desde Argentina,

Lucas.

[Al2000]

Re: Cálculo de áreas con integrales definidas

Lucas, el programa que usé para hacer los cálculos es el Mathcad, aunque debo decirte que el sombreado y los círculos los añadí a posteriori como parte del acondicionamiento de la imagen (recorte y cambio de formato) previo a subirlo al foro.

Un saludo desde Venezuela,

Al