1r ciclo Encontrar los puntos criticos de una funcion

[MonsterV]

Encontrar los puntos críticos de la seguientes funciones
$f(x)={x}^{3 }$
$f(x)= x(x-1)(x+1)$
$f(x)= sen x$

si alguien me puede explicar resolviendo al menos uno de estos para que le entienda.
y si no es mucha molestia como hallo los intervalos donde f es creciente o decreciente.

[angel relativamente]

Re: Encontrar los puntos criticos de una funcion

Bien, un punto crítico de una función es un punto cuya recta tangente tiene de pendiente 0. Como se puede ver en esta imagen, se trata de una función cúbica cuyos puntos críticos son el (1,5) y el (3,1), y la única recta que pasa por ese punto y es tangente a la función es una recta horizontal (esto es, con pendiente m=0) paralela al eje x.

Si esto se entiende, pasemos al "cómo calcularlo". Por la definición de derivada, la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la recta tangente a dicho punto. Por tanto, como la derivada es la pendiente de la recta, y sabemos que la pendiente en un punto crítico es 0, tan solo hemos de igualar la derivada a 0. En la primera función que te dan:

$$\dst f(x)=x^3\quad \Rightarrow \quad f'(x)=3x^2=0$$

Una vez igualada la derivada a 0, tan solo hemos de despejar x:

$$3x^2=0 \quad \Rightarrow \quad x=0$$

Ahora ya tenemos la coordenada x del punto. Sustituimos en nuestra función inicial:

$$f(0)=3\cdot 0^2 = 0$$

Por tanto, el punto crítico de esa función es $P(0,0)$

Ah, para ver el intervalo de crecimiento-decrecimiento es bien simple. Piensa que si la función es creciente, las rectas tangentes en ese intervalo van a ser crecientes (con pendiente positiva), y si es decreciente las rectas tangentes también lo serán (con pendiente negativa). Sabiendo que la función se divide en dos intervalos, separados por su punto crítico. $]-\infty, 0[ \cup ]0,+\infty[$

Tan solo hemos de ver cómo es la derivada en cada intervalo. Escojamos un valor cualquiera del primer intervalo, como por ejemplo -1. Sustituimos en nuestra función derivada:

$$f'(1)=3\cdot (-1)^2 = +3$$

Como en el primer intervalo la pendiente de la recta tangente es positiva, quiere decir que la función es creciente en $]-\infty,0[$ . Ahora cogemos un punto del 2º intervalo, como por ejemplo 1.

$$f'(1)=3\cdot 1^2 = +3$$

La pendiente sigue siendo positiva, por tanto, la función sigue creciendo. Podemos decir que la función es creciente en los reales, con (0,0) como punto de inflexión.

Puedes comprobarlo en esta imagen donde se muestra la representación gráfica de $f(x)=x^3$

Vamos con la 2º:

$$f(x)=x(x-1)(x+1)\quad \Rightarrow \quad f(x)=x^3-x$$

Igualamos la derivada a 0 y despejamos la x:

$$f'(x)=3x^2 - 1 \quad \Rightarrow \quad 3x^2-1=0 \quad \Rightarrow \quad \dst x=\frac{\pm \sqrt{3}}{3}\approx \pm 0.58$$

Sustituimos en nuestra función original:

$$f\left(\frac{ \sqrt{3}}{3} \right)= \left(\frac{ \sqrt{3}}{3} \right)^3 - \left(\frac{ \sqrt{3}}{3} \right)= \left(\frac{ \sqrt{3}}{3} \right) \cdot \left[ \left(\frac{ \sqrt{3}}{3} \right)^2 - 1 \right] =\frac{-2\sqrt 3}{9}\approx -0.38$$

$$f\left(\frac{ -\sqrt{3}}{3} \right)= \left(-\frac{ \sqrt{3}}{3} \right)^3 - \left(-\frac{ \sqrt{3}}{3} \right)=\left(\frac{ -\sqrt{3}}{3} \right) \cdot \left[ \left(-\frac{ \sqrt{3}}{3} \right)^2 - 1 \right]=\frac{2\sqrt 3}{9}\approx 0.38$$

Por tanto los puntos críticos son $(0.58,-0.38)$ y $(-0.58,0.38)$

Para ver el intervalo crecimiento-decrecimiento, tan solo has de ver que la función se divide en 3 intervalos donde se modifica su monotonía:

$]- \infty , -0.58 [ \; \cup \; ]-0.58,0.58[\; \cup \; ]0.58,+\infty[$

Miras la pendiente de la recta tangente en cada intervalo y ya está

He aquí la representación gráfica de la función. Siempre que no estés seguro de tus resultados, representarla es lo mejor.

Prueba con lo que te queda y pregunta si salen dudas.

¡Un saludo!