Secundaria Igualdad de límites

[angel relativamente]

Hola compañeros, estaba practicando para el año que viene con exámenes de selectividad de matemáticas, y me he encontrado con el siguiente problema que no he sabido resolver:

Halla el valor de a para que se verifique:

$$\dst \lim_{x \to +\infty}\left( \dfrac{2x+a}{2x-1} \right)^{x+5}=\dst \lim_{x \to 0}\dfrac{x^2-x^3}{{\sin}^2(x)}$$

Lo primero que he pensado es que:

$$\dst \lim_{x \to +\infty}x=\dst \lim_{x \to 0}\dfrac 1 x$$

Por tanto:

$$\dst\lim_{x \to 0}\left( \dfrac{2+ax}{2-x} \right)^{\dfrac {1+5x}{x}}=\dst\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2-x^3}{{\sin}^2(x)}$$

Pero a partir de aquí no tengo ni idea de cómo continuar (ni tan siquiera tengo claro que vaya por el buen camino).
Si algún ser caritativo prestase su amable ayuda para aclararme con este ejercicio.
¡Muchas gracias de antemano!
Un saludo. Ángel

[GNzcuber]

Re: Igualdad de límites

Hola Ángel,

Lo que haría yo es primero calcular el límite que sí podemos saber su valor:

$$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x^2-x^3}{\sin^2(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{x^2(1-x)}{\sin^2(x)} = \lim_{x\to 0}(1-x) = 1$$

Luego calcularía el de la izquierda y vería los posibles valores de $a$ para que se verificase la igualdad.

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x+a}{2x-1}\right)^{x+5}=\mahbf{1^{\infty}}$$

Es una indeterminación de la forma uno elevado a infinito, la forma general de resolverlo es la siguiente:

$$\displaystyle<br /> \begin{aligned}<br /> \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x+a}{2x-1}\right)^{x+5} &= \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x+a}{2x-1}-1\right)^{x+5} \\<br /> &= \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{\frac{2x-1}{a+1}}\right)^{x+5} \\<br /> &= \lim_{x\to\infty}\left[\underbrace{\left(1+\dfrac{1}{\frac{2x-1}{a+1}}\right)^{\frac{2x-1}{a+1}}}_{e}\right] ^{\frac{a+1}{2x-1} (x+5)} \\<br /> &= \lim_{x\to\infty}e^{\frac{x+5}{2x-1}(a+1)} = \lim_{x\to\infty}e^{\frac{a+1}{2}} = 1 \Leftrightarrow a=-1<br /> \end{aligned}$$

¡Saludos!

[angel relativamente]

Re: Igualdad de límites

Wow, gracias GNzcuber. He entendido el planteamiento

Lo que no entiendo es como haces esto:

$$\dst \lim_{x\to 0}\frac{x^2(1-x)}{\sin^2(x)} = \lim_{x\to 0}(1-x) = 1$$

¿Qué ocurre con el $\dfrac{x^2}{{\sin}^2(x)}$, pues nos da una indeterminación de 0 sobre 0:

$$\dst \lim_{x \to 0}\dfrac{x^2}{{\sin}^2(x)}=\dfrac 00$$

Y tu pareces deshacerte de él como si no hubieses reparado en su presencia. Es cierto que el límite es 1, lo he probado con la regla de l'hopital (aunque se bien poco de esta):

$$\dst \lim_{x \to 0}\dfrac{x^2-x^3}{{\sin}^2(x)}= \dst \lim_{x \to 0}\dfrac{2x-3x^2}{2\cdot \sin (x)\cdot \cos (x)}=\dst \lim_{x \to 0}\dfrac{2x-3x^2}{\sin (2x)}=$$

$$\dst =\dst \lim_{x \to 0}\dfrac{2-6x}{2\cos (2x)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1-3x}{\cos (2x)}=\dfrac 11 = 1$$

Aun así, sigo teniendo la duda de cómo haces el paso que haces

¡Un saludo!
Y muchas gracias

[Al2000]

Re: Igualdad de límites



$\dst \lim_{x \to 0} \frac {x^2}{\mathrm {sen}^2 \, x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac x {\mathrm {sen} \, x}\right)^2 = \left(\lim_{x \to 0} \frac x {\mathrm {sen} \, x}\right)^2 = 1$

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Igualdad de límites

Claro, al estar al mismo grado da 1. Mmm ahora va a resultar que no se hacer límites sencillos.
Es realmente frustrante cuando te das cuenta de las tonterías que dices con todo el convencimiento

¡Muchas gracias Al!

[GNzcuber]

Re: Igualdad de límites

Hola Ángel,

Después de haberle dado a "Reply" me he acordado que recién entras en bachillerato .

Bueno, se puede hacer de la manera que has hecho o por infinitésimos equivalentes. Los infinitésimos equivalentes son límites de funciones que tienden a cero, y que evaluándolas en el mismo entorno donde se anulan su cociente es la unidad. Es decir, sean $f$ y $g$ dos funciones contínuas (por simplicidad) y $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0,\quad \lim_{x\to a}g(x)=0$, serán infinitésimos equivalentes si

$$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = 1\Leftrightarrow \lim_{x\to a}f(x)\simeq\lim_{x\to a}g(x)$$

Piensa en el círculo goniométrico, usaremos el primer cuadrante. Si dibujas una recta que forma un cierto ángulo $\theta$ con el eje $Ox$, y representas el seno de dicho ángulo y la tangente¹ ², obtienes el siguiente resultado:

$$\displaystyle \begin{matrix}<br /> \sin(x) & \le & x & \le & \tan(x) \\<br /> 1 & \le & \dfrac{x}{\sin(x)} & \le & \frac{1}{\cos(x)} \\<br /> 1 & \le & \dfrac{x}{\sin(x)} & \le & 1<br /> \end{matrix}$$

Por el método del sandwich tenemos que $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(x)} = 1$.

NOTA 1: Esta relación se cumple en el primer cuadrante.
NOTA 2: Para la segunda línea de (1) hemos dividido por $\sin(x)$, que aunque tiende a 0 no es igual a él, sinó no podríamos hacerlo, pues la división por cero no está definida.
NOTA 3: Análogamente podemos obtener que $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$, o sinó de la misma desigualdad:

$$\displaystyle \begin{matrix}<br /> 1 & \le & \dfrac{x}{\sin(x)} & \le & 1 \\<br /> 1 & \ge & \dfrac{\sin(x)}{x} & \ge & 1<br /> \end{matrix}$$

Por último lo más evidente, pero que siempre viene bien recordar: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\sin^2(x)} = \lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\sin(x)}\right)^2 = 1$.

¡Saludos!

¹ Para dibujar la tangente, se debe hacer una recta paralela al eje $Oy$ que pase por (1,0), se puede ver que es tangente a la circunferencia. La prolongación de la recta que forma un ángulo $\theta$ con el eje de abscisas hasta cortar la recta tangente, nos da el valor del ángulo en dicha función.
² Como estamos usando la circunferencia goniométrica, su radio vale la unidad, por lo que por definición de radián $\displaystyle \left(\theta = \frac{x}{R} = x\right)$, donde $x$ es la longitud de la cuerda de la circunferencia sustendido por el ángulo $\theta$.

P.D.: Veo que Al ya te ha respuesto . El último paso para llegar a la conclusión definitiva tampoco creas que es tan evidente, en esta caso se cumple, pero podemos introducir límites dentro de funciones si estas son contínuas en dicho entorno. Y que estén al mismo grado no significa que deba dar 1, por ejemplo, si en vez de $\sin(x)$ hubiéramos tenido $\cos(x)$ ya no sería lo mismo (tampoco te voy a dejar con la intriga, daría 0 porque $\displaystyle \lim_{x\to 0}\cos(x)=1$, y el límite de un cociente es igual al cociente de límites siempre que la función del denominador no sea cero en el punto de evaluación).

[arreldepi]

Re: Igualdad de límites

Si quieres puedes representar ambas funciones $x$ y $\sin x$ y también $x^2$ y $\sin^2 x$ en un editor de gráficas y verás que cerca del cero se comportan de forma prácticamente idéntica. Cuando esto sucede se dice que ambas funciones son infinitésimos equivalentes.

Cuando hagas cálculo en la universidad verás un teorema, que es el teorema de Taylor, que dice que cualquier función que cumpla unas propiedades concretas (básicamente, que sea infinitamente derivable y que las derivadas sean contínuas) puede representarse mediante un polinomio infinito o un polinomio de grado n más cierto resto. Este teorema es muy útil y se usa un montón en física, por ejemplo, el mgh de la energía potencial proviene de aplicar el teorema de Taylor a $-\frac{GMm}{r}$ y alguna costia más. Igual pasa con la expresión de la energía cinética en relatividad, en difracción, etc.

Siguiendo con el caso del $x$ y $\sin x$, seguramente habrás oído en alguna ocasión que, para ángulos pequeños, podemos aproximar el ángulo a su seno. Pues todo esto también es posible verlo con la fórmula de Taylor.

La expresión en serie de Taylor del seno es

$$\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$$

Es decir, muy cerca del cero, efectivamente se ve que $\sin(x)\sim x$.

Así que

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} = 1.$$

Saludos!

PD: Uis, ya te habían respuesto Al i GNzcuber. Sorry .

[angel relativamente]

Re: Igualdad de límites

¡Gracias por las aclaraciones!
No había oído hablar de los infinitésimos equivalentes, aunque el concepto, sin formalizarlo, parece bastante obvio. Supongo que es así como se dará en 2º Bach.
Ahora me ha quedado más claro. ¡Un saludo!