1r ciclo Resolver sistema de ecuaciones ''facilito''

[skinner]

Buenas. Hace un par de años más o menos, cayó en un examen parcial la siguiente pregunta, la cual me ha llamado la atención. Piden calcular la solución (o soluciones) del sistema:



Y bueno, quisiera saber cómo lo haríais vosotros.

Muchas gracias

Un saludo!

[GNzcuber]

Re: Resolver sistema de ecuaciones ''facilito''

Hola skinner,

No te voy a negar que me he asustado un poco al verlo . Pero va mi solución:

Nota que los términos que asustan (en el sentido que difícilmente podrías despejar incógnitas de allí, o simplemente al sustituir allí dentro otras despejadas quedaría una monstruosidad) están repetidas y pueden ser nuevas incógnitas si queremos, así que las despejamos e igualamos:

$$\displaystyle \left\{\begin{aligned}<br /> x\left(3+4e^{2x^2-y^3-1}\right)+2z &= 1 \Rightarrow e^{2x^2-y^3-1} = \frac{1-2z-3x}{4x} \\<br /> 4y + e^{2x^2-y^3-1} + 4\sinh(z-2x) &= 0 \Rightarrow e^{2x^2-y^3-1} = -4(y+\sinh(z-2x)) \\<br /> y(1-\sinh(z-2x)) + 4z &= 2 \Rightarrow \sinh(z-2x) = \frac{4z+y-2}{y} <br /> \end{aligned}\right.<br />$$

He supuesto que $x\neq 0 \neq y$ para poder dividir*.

Igualamos los términos iguales después de haber despejado en la primera ecuación: $\displaystyle \frac{1-2z-3x}{4x} = -4(y+\sinh(z-2x)$

Sustituyendo el término despejado de la tercera ecuación tenemos: $\displaystyle \frac{1-2z-3x}{4x} = -4\left(y+\frac{4z+y-2}{y}\right)$

Resolviendo obtenemos:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> y -2zy -3xy &= -16xy^2 -64xz-16xy+32x \\<br /> 0 &= 16xy^2 +13xy +64xz -2yz -32x +y \\<br /> 0 &= x(16y^2+13y-32) + 2z(32x-y) +y<br /> \end{aligned}$$

No se me ocurre nada más :P.

Espero que alguien pueda echar una mano .

¡Saludos!



Realmente podemos coger las soluciones $x=0$ e $y=0$ ya que en vez de dividir podríamos hacer lo siguiente:

$$\displaystyle 4xe^{2x^2-y^3-1} = 1-2z-3x$$

Y por lo tanto

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> e^{2x^2-y^3-1} &= -4(y+\sinh(z-2x)) \\<br /> 4xe^{2x^2-y^3-1} &= -16x(y+\sinh(z-2x)) \\<br /> 1-2z-3x &= -16x(y+\sinh(z-2x))<br /> \end{aligned}$$

Por lo que la solución $x=0$ sería válida, de igual manera se puede incluir la solución (si la tiene) $y=0$.

[polonio]

Re: Resolver sistema de ecuaciones ''facilito''

Como hay exponenciales y funciones hiperbólicas (que no son sino combinaciones lineales de exponenciales) yo usaría logaritmos. (Aunque sólo he echado un vistazo por encima al problema).