Olimpiada Dos preguntas de olimpiadas

[skinner]

Buenas. Tengo dos preguntas de una olimpiada, que no sé resolver.

#1) Encontrar la última cifra del número $2009^{2011}$; ¿cuántos ceros le preceden?

#2) Encontrar todos los números enteros a, b y c tales que $a^2=2b^2+3c^2$

Muchas gracias

Saludos!

[angel relativamente]

Re: Dos preguntas de olimpiadas

Respecto a la primera pregunta, decirte que ya fue preguntada en el foro con anterioridad y resuelta. Aquí tienes el enlace

http://forum.lawebdefisica.com/threa...ighlight=henin


La segunda voy a darle unas cuantas vueltas. ¡Un saludo!

[skinner]

Re: Dos preguntas de olimpiadas

Ya vi ese hilo, pero ahí se pregunta sobre cuántos ceros preceden a la última cifra. Antes de saber ésto, me gustaría primero saber cómo calcular la última cifra de dicho número,

Un saludo!

[skinner]

Re: Dos preguntas de olimpiadas

Con respecto a la pregunta #2), yo había pensado en un planteamiento geométrico usando el Tma. de Pitágoras, pero no sé si voy bien.

[angel relativamente]

Re: Dos preguntas de olimpiadas

A ver. Creo tener solución para el 1 (bastante burda, por cierto):

Según lo que dicen en la solución, por el binomio de newton tenemos que:

$\left( 2000+9 \right)^n=9^n+2000k$

Las cifras finales de ese numero han de ser las de $9^n$ , en este caso n=2011. Ahora he ido probando con las potencias de 9:

$9^0=1$

$9^1=9$

$9^2=81$

$9^3=729$

Y así he probado hasta $9^{10}$. Y he reparado en que las potencias pares acaban en 1 y las impares en 9. Siendo 2011 un impar, ha de acabar en 9.
¿Poco formal eh? Pero con eso en una olimpiada ya tienes más que dejártelo en blanco (como hace el 80%)


Respecto al 2, yo también me he ido por pitágoras.

$$\dst a=\sqrt{2b^2+3c^2}$$

De lo que se deduce que es un triángulo rectángulo con hipotenusa a y catetos $b\sqrt 2$ y $c \sqrt 3$ . Ahora habrá que ir viendo las ternas pitagóricas de modo que se cumpla dicha igualdad. Esto habrá que ir formalizandolo, pero creo que va por ahí la cosa.
¡un saludo!

[hennin]

Re: Dos preguntas de olimpiadas

Ángel relativamente, haz deducido bien la respuesta pero creo que la que daba máxima puntuación era por congruencias. Skinner si te estás preparando para las olimpiadas te recomiendo que estudies en una academia o profesor que sepa del tema.
Y a la respuesta de la segunda pregunta, al parecer, un chico de bcn que quedó oro resolvió ese problema utilizando el producto escalar. Eso sí, no sé cómo xD.

[hennin]

Re: Dos preguntas de olimpiadas

Por cierto, me faltó decir que a la última cifra 9 le precede un cero.

[Mister Kroket]

Re: Dos preguntas de olimpiadas

esto esta mal ,lo siento

[GNzcuber]

Re: Dos preguntas de olimpiadas

Hola skinner,

Para el primero aritmética modular. Y ya está resuelto en el vínculo de Ángel.

Para el segundo ecuaciones diofánticas:

$$a^2 = 2b^2 + 3c^2$$

Como estamos trabajando con enteros, para que tenga solución esta ecuación se debe cumplir que $a^2 = kd,\quad k,d\in\mathbb{Z}$, con $d=\mathrm{mcd}(2b^2,3c^2)=1$ (por simplificación¹). Por lo que, para que tenga solución $a^2$ puede ser cualquier número entero positivo.

Se puede escribir la identidad de Bézout siguiente

$$\displaystyle 2b^2 + 3c^2 = 1$$

Ahora se trata de hallar b^2 y c^2 que cumplan dicha condición, a pesar de que hay un método algo "tedioso" (pero divertido ) que usa el algoritmo de Euclides, también se pueden sacar resultados a ojo. Y es que a partir de la ecuación anterior podemos decir cuáles son los valores posibles.

Una solución a ojo sería $c^2 = 1$ y $b^2=-1$, a pesar que $b,c\in\mathbb{Z}$ seguiré "jugando" con estos números para ver todos.

Escribiré la identidad de Bézout general y la solución particular y las restaré:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> 2b^2 + 3c^2 &= 1 \\<br /> 2(-1) + 3(1) &= 1 \\ \hline <br /> 2(b^2+1) + 3(c^2-1) &= 0 \Leftrightarrow 2(b^2+1) &= 3(1-c^2)<br /> \end{aligned}$$

Como $\mathrm{mcd}(2,3)=1$, por el Teorema fundamental de la aritmética $2|(1-c^2)$ (dos divide a $1-c^2$), por lo que podemos poner $1-c^2 = 2\alpha,\,\alpha\in\mathbb{Z}$. Entonces:

$$\displaystyle \left.\begin{aligned}<br /> 2(b^2+1) &= 3(1-c^2) = 3\cdot 2\alpha \\<br /> b^2 + 1 &= 3\alpha \\<br /> b^2 &= 3\alpha -1<br /> \end{aligned}\quad \right| \quad \boxed{b=\sqrt{3\alpha-1}}$$

De la misma manera $3|b^2+1\Rightarrow b^2+1 = 3\beta,\,\beta\in\mathbb{Z}$

$$\displaystyle \left.\begin{aligned}<br /> 2(b^2+1) &= 3(1-c^2) \\<br /> 2\cdot 3\beta &= 3(1-c^2) \\<br /> c^2 &= 1-2\beta<br /> \end{aligned}\quad \right| \quad \boxed{c=\sqrt{1-2\beta}}$$

Llegado a este punto me estoy dando cuenta que no está valiendo para nada lo que hago porque todavía tenemos el problema de determinar los valores que satisfagan la igualdad.

Por si a alguien le sirve para algo, haré un poco más general los valores de $b$ y $c$.

$$\displaystyle\left. \begin{aligned}<br /> 2b^2 + 3c^2 &= 1 \\<br /> 2(ab)^2 + 3(ac)^2 &= a^2 \\<br /> 2x^2 + 3y^2 &= a^2<br /> \end{aligned} \quad \right| \quad \Rightarrow <br /> \left\{\begin{aligned}<br /> \boxed{x = a\sqrt{3\alpha-1}} \\<br /> \boxed{y = a\sqrt{1-2\beta}}<br /> \end{aligned}\right.<br />$$

¡Saludos!



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¹ Supongamos que $\mathrm{mcd}(b^2,c^2)=r$ entonces $r$ también es divisor de $a^2$ por lo que podemos expresarlo como $a^2 = r\cdot s,s\in\mathbb{Z}$, y también $b^2=r\cdot t,t\in\mathbb{Z}$ y $c^2=r\cdot u,u\in\mathbb{Z}$. Por ser $r$ máximo común divisor tendremos que $\mathrm{mcd}(t,u)=1$, así que podemos reescribir la ecuación como sigue

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> a^2 &= 2b^2 + 3c^2 \\<br /> rs &= 2rt + 3ru \\<br /> s &= 2t + 3u && \text{ya que }r\neq 0<br /> \end{aligned}$$

Pero como el máximo común divisor entre $t$ y $u$ es uno, $s$ debe ser un múltiplo del máximo común divisor entre 2 y 3.

[GNzcuber]

Re: Dos preguntas de olimpiadas

Y así he probado hasta $9^{10}$. Y he reparado en que las potencias pares acaban en 1 y las impares en 9. Siendo 2011 un impar, ha de acabar en 9.
¿Poco formal eh? Pero con eso en una olimpiada ya tienes más que dejártelo en blanco (como hace el 80%)

Para hacerla formal podrías demostrarlo por inducción .

1. 9 elevado a una potencia par acaba en 1, es decir, a una potencia de la forma $r=2n,n\in\mathbb{N}$
- Para $n=1$: $P(1) = 9^2 = 81$
- Para $n=k$: $P(k) = 9^{2k} = 10s + 1$ suponemos cierto (hipótesis de inducción).
- Para $n=k+1$:

$$\begin{aligned}<br /> P(k+1) &= 9^{2(k+1)} \\<br /> &= 9^2\cdot 9^{2k} \\<br /> &\overbrace{=}^ {HI} 81\cdot (10s+1) = 81s\cdot 10 + 81 = 81s\cdot 10 + 8\cdot 10 +1 = (81s+8)\cdot 10 + 1<br /> \end{aligned}$$

Demostrado.

2. 9 elevado a una potencia impar acaba en 9, es decir, a una potencia de la forma $r=2n+1,n\in\mathbb{N}$
- Ejercicio para el lector .

¡Saludos!

[skinner]

Re: Dos preguntas de olimpiadas

Qué respuestas más elaboradas, muchas gracias

Sólo una pregunta; me ha sorprendido cómo GNzcuber ha resuelto el segundo problema. Pero también me ha llamado la atención el hecho de que alguien pudo resolverlo usando el producto escalar, en lugar de ecuaciones diofánticas (las cuales no he estudiado, en cambio el producto escalar está hasta en la sopa).

¿Podría alguien demostrarlo con productos escalares?

Muchas gracias.

Un saludo!

[Mister Kroket]

Re: Dos preguntas de olimpiadas

me habeís dejado alucinado, lo que me falta por aprender !

un saludo

[GNzcuber]

Re: Dos preguntas de olimpiadas

me ha sorprendido cómo GNzcuber ha resuelto el segundo problema.

No lo he acabado de resolver he llegado al mismo problema planteado de otra forma, se deberían buscar ahora $\alpha$ y $\beta$, y al multiplicarlos por un $a\in\mathbb{Z}$ tendríamos el $b$ y $c$ correspondientes.

Pero también me ha llamado la atención el hecho de que alguien pudo resolverlo usando el producto escalar, en lugar de ecuaciones diofánticas (las cuales no he estudiado, en cambio el producto escalar está hasta en la sopa).

Tengo el presentimiento que no sabes qué es el producto escalar, más que nada porque has abierto un post en el cual se apreciaba que aún no habías dado la asignatura de Álgebra lineal. Así que me parece que no has probado todas las sopas que hay .

Intentaré más adelante ver si puedo acabar mi demostración y ver cómo se podría demostrar a partir del producto escalar (con el cual supongo que te refieres al estándar, ¿Verdad?).

¡Saludos!