1r ciclo ayuda con la siguiente derivada

[Julián]

Alguien me podría decir como se resuelve la siguiente derivada.

$f(x) = {Sen (x)}^{Tan (x) }$

Pero en general la duda que tengo es como resolver: $f(x) = {h(x)}^{ g(x)} \wedge h(x)$ y $g(x)$ funciones compuestas

saludos

[angel relativamente]

Re: ayuda con la siguiente derivada

Agradezco tu mensaje porque me has hecho investigar sobre el tema. Es probable que incluya esta demostración posteriormente en el "proyecto derivadas" que se está llevando a cabo en el club demostraciones. Dicho esto, te mostraré una expresión general para, utilizando tu notación, derivar:

$$\dst f(x)=h(x)^{g(x)}$$

En primer lugar, tomamos el neperiano en ambos miembros:

$$\dst \ln\left[ f(x) \right] =\ln\left[ h(x)^{g(x)} \right]$$

Ahora utilizando la propiedad del logaritmo de una potencia:

$$\dst \ln\left[ f(x) \right] =g(x)\cdot \ln\left[ h(x) \right]$$

Derivamos ambos miembros:

$$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=g'(x)\cdot \ln\left[ h(x) \right]+g(x)\cdot \dfrac{h'(x)}{h(x)}$$

Por tanto, la derivada de una función elevada a otra función será:

$$\dst \boxed{f'(x)=f(x)\cdot \left[ g'(x)\cdot \ln\left[ h(x) \right]+g(x)\cdot \dfrac{h'(x)}{h(x)} \right]}$$

Puedes simplificar esa expresión a tu gusto, aunque desde luego con lo fácil que es de deducir, no merece la pena aprendérsela.
En tu caso concreto, me da:

$$\dst f'(x)={\sin(x)}^{\tan(x)}\cdot \left[ \dfrac{\ln\left[ \sin(x) \right] }{{\cos}^2 (x)}+1 \right]$$

Si queda alguna duda, consulta.
¡Un saludo!
Ángel

[Caifan]

Re: ayuda con la siguiente derivada

Hola.

En realidad es una derivada muy fácil, resolvamos el caso un poco mas general que propones, obtener la derivada de $f(x)$, si

$f(x) = {h(x)}^{g(x)}$

Si aplicamos una función logaritmo natural o neperiano en ambos miembros de la ecuación, obtenemos

$\ln{f(x)} = \ln{{h(x)}^{g(x)}}$

Las caracteristicas de la funcion logaritmo natural nos permiten reescribir la ecuación anterior como sigue

$\ln{f(x)} = g(x) \ln{{h(x)}}$

Si ahora aplicamos la función exponencial en ambos miembros, se tiene

$\exp \ln{f(x)} = f(x) = \exp {[g(x) \ln{{h(x)}}]}$

Lo que sigue es derivar la forma recién obtenida de la función $f(x)$. Para esto debemos derivar la función exponencial del producto $g(x) \ln{{h(x)}}$. La derivada de una función exponencial es clara

$\frac{\mathrm{d{f(x)}} }{\mathrm{dx} } = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dx} } { \exp {[g(x) \ln{{h(x)}}]}} = \exp {[g(x) \ln{{h(x)}}]} {\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dx} } }{[g(x) \ln{{h(x)}}]}$

Recordemos por la cuarta ecuación presentada, que la función $f(x)$ original es también igual a la función exponencial del producto $g(x) \ln{{h(x)}}$, así, podemos simplificar la ecuación anterior para obtener

$\frac{\mathrm{d{f(x)}} }{\mathrm{dx} } = {{f(x)}^{g(x)}}{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dx} } }{[g(x) \ln{{h(x)}}]}$

Desarrollando la derivada del producto $g(x) \ln{{h(x)}}$, se obtiene finalmente

$\frac{\mathrm{d{f(x)}} }{\mathrm{dx} } = {{h(x)}^{g(x)}}[{{\frac{g(x)}{h(x)}}{\frac{\mathrm{d{h(x)}} }{\mathrm{dx} } }+{\ln{h(x)}}{\frac{\mathrm{d{g(x)}} }{\mathrm{dx} } }}]$

Como ves, es una expresión muy larga como para memorizarla, es mas conveniente conocer el método para reescribir la función $f(x)$ como una función que podamos derivar por medio de las reglas comúnes.

Actualizo: Cuando inicie a responderte, no habia leido la respuesta de Ángel relativamente, la cual debió aparecer justo cuando te escribía. Como puedes ver, llegamos al mismo resultado, pero sin duda el método más elegante es el presentado por nuestro compañero Ángel relativamente.

[arreldepi]

Re: ayuda con la siguiente derivada

Hola, hay otro método (bastante odioso xD) para hacer éstas que es aplicar la regla de la cadena sin más:

$$f(x)=\sin(x)^{\tan (x)}$$

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd f}{\dd x} &= \frac{\dd \left(\sin(x)^{\tan(x)}\right)}{\dd x} \\ <br /> & = \frac{\dd \left(\sin(x)^{\tan(x)}\right)}{\dd\sin(x)}\frac{\dd\sin(x)}{\dd x} + \frac{\dd \left(\sin(x)^{\tan(x)}\right)}{\dd\tan(x)}\frac{\dd\tan(x)}{\dd x}\\<br /> & = \tan(x)\sin(x)^{\tan(x)-1}\cdot\cos(x) + \sin(x)^{\tan(x)}\ln(\sin(x))\sec^2(x) \\ <br /> & = \sec(x)\sin(x)^{\tan(x)}\cos(x) + \sin(x)^{\tan(x)}\ln(\sin(x))\sec^2(x) <br /> \end{aligned}$$

Si sacamos $\sin(x)^{\tan(x)}$ de factor común:

$$\boxed{\frac{\dd f}{\dd x}=\sin(x)^{\tan(x)}\left[1+\sec^2(x)\ln(\sin(x)) \right] }$$

Más que nada, te lo pongo para que sepas que se puede hacer directamente con la regla de la cadena, pero si puedes, usa siempre el método que te propuso Angel, que es más elegante y tienes menos probabilidad de error xD.

Hecho con dos funciones $f,h$ cualesquiera, sería:

$$f(x)=g(x)^{h(x)}$$

Aplicando la regla de la cadena:

$$\begin{aligned}\frac{\dd f}{\dd x} &= \frac{\dd g(x)^{h(x)}}{\dd x} \\ & = \frac{\dd g(x)^{h(x)}}{\dd g(x)}\frac{\dd g(x)}{\dd x} + \frac{\dd g(x)^{h(x)}}{\dd h(x)}\frac{\dd h(x)}{\dd x} \\ & = h(x)\cdot g(x)^{h(x)-1} g'(x) + g(x)^{h(x)}\ln(g(x))h'(x) \\ & = g(x)^{h(x)}\left[h(x)g(x)^{-1}g'(x) + \ln(g(x)) h'(x)\right]\\ & = f(x) \left[h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}+ \ln(g(x))h'(x)\right]\end{aligned}$$

Saludos!