Secundaria Serie que define al número e

[Pepealej]

Tengo que resolver un ejercicio y se parece un poco al siguiente:

$\dst\sum_{n = 0}^\infty \dst\frac{(-1)^n}{n!}=e^{-1}$

Me gustaría saber como se llega al resultado de la suma anterior

Gracias!

[arreldepi]

Re: Serie que define al número e

Hola, la función exponencial es infinitamente diferenciable y con derivadas continuas, con lo cual, según el teorema de Taylor, podemos expresar la exponencial mediante un polinomio infinito. Si esto se hace, sale que el desarrollo de la exponencial en serie de Taylor es:

$$\eee{x}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},$$

con lo cual, para $x=-1$, se obtiene tu resultado.

Saludos!

[GNzcuber]

Re: Serie que define al número e

Hola Pepealej,

¿Qué resultados te han enseñado? Hay una fórmula que te enseñan y es $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$. Si este es tu caso basta sólo cons hacer $x=-1$. Y sinó deberemos manipular el sumatorio.

Mi idea es llegar a partir de este a la defenición más conocida $\displaystyle e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$, o en este caso:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> e^{-1} &= \left[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^{-1} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} \\<br /> e^{-1} &= \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{-n}\right)^{-n}<br /> \end{aligned}$$

Por lo tanto, si llamamos $m=-n$ tenemos $\displaystyle e^{-1}=\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^m$.

Descompondremos el sumatorio en dos sumas, la de los pares e impares:

$$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{q=0}^n \frac{1}{(2q)!}-\sum_{q=0}^n \frac{1}{(2q+1)!}\right)$$

Y aparte de que no se me ocurre cómo continuar debo marchar :P.

¡Saludos!

P.D.: A la vuelta ya lo intentaré continuar.

[Pepealej]

Re: Serie que define al número e

Gracias por las respuestas. La verdad es que yo a lo que quería llegar es al término general que decis:

$\eee{x}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},$

Me siento cómodo como lo estaba GNzcuber, a partir de la definición más conocida del número e. La conozco y la entiendo perféctamente, sólo quería llegar a partir de algo conocido a demostrar la serie anterior.

Muchas gracias por vuestra ayuda.

PD: Voy a entrar en 2º de Bachillerato así que aun no conozco el polinomio de Taylor. He oido hablar de él pero si es necesario aplicarlo me gustaría que alguien me diese el enlace a alguna web donde lo expliquen bien, algún vídeo o incluso que alguien me lo explice si se aburre mucho Gracias!

[Pepealej]

Re: Serie que define al número e

Estoy intentando demostrar a partir de la definición del número e con límites que:

$\dst\sum_{n = 0}^{+\infty} \dst\frac{x^n}{n!}=e^x$

Pero no consigo avanzar. Me he quedado aquí y ya no se como continuar. ¿Alguien me ayuda?

$\dst e^x= \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}$

Muchas gracias, es importante