Olimpiada Propuesto, sobre divisores primos

[angel relativamente]

Hola compañeros. Os propongo un problema de olimpiada. Yo he sido incapaz de resolverlo, a ver si alguien se anima

Dice así:

Demuestra que $n^2+1$ tiene un divisor primo mayor que $\sqrt{2n}$, $\forall n\in\mathbb{N}$

Sinceramente yo no se por donde atacarlo.
Parece un ejercicio muy interesante.
¡Saludos!

[lindtaylor]

Re: Propuesto, sobre divisores primos

..........................

[juantv]

Re: Propuesto, sobre divisores primos

Usando el postulado de Bertrand ?

o ...

$p:$ numero primo
$q:$ numero natural mayor que cero

$n^2+1 = q p$

$p > \sqrt{2n}$

$p >\sqrt{2(p q - 1)}$

$p^2 - 2 q p + 2 > 0$

$\Delta > \sqrt{2} > 0$ -> posee soluciones reales

Al ser una consecuencia verdadera la premisa inicial lo es, existe algun $p > \sqrt{2n}$

Es lo que "vagamente" se me ocurre.

[juantv]

Re: Propuesto, sobre divisores primos

si no se entiende una mier... es que estoy dilucidando.

[rarar]

Re: Propuesto, sobre divisores primos

Todos los números naturales son divisibles, al menos, por sí mismos y por la unidad.
Bastaría descomponer cualquier número natural en factores primos y obtendríamos todos sus divisores.
Para n=1 divisor es 2
$\text{Si } k,a \in N \Rightarrow \frac{n^2+1}{k}=a, , \text {siendo k un numero primo}$

$\text{Si } k\leqslant \sqrt{2n}$
$\frac{n^2+1}{a}=k \leqslant \sqrt{2n}$

$como: a \leqslant n$

$\frac{n^2+1}{n} \leqslant \frac{n^2+1}{a}=k \leqslant \sqrt{2n}$
$n^2+1 \leqslant n \sqrt{2n}$
Absurdo, luego:

$\sqrt{2n} < k$

[rarar]

Re: Propuesto, sobre divisores primos

Creo que he supuesto mal que $a\leqslant n$
Tienes razón juantv, con el Postulado de Bertrand, está más claro.
Nos dice que $\forall k\epsilon N > 3, , \exists p \epsilon N, \text{ siendo p un numero primo} \Rightarrow k< p < 2k-2$
$n^2+1\geqslant p > \frac{n^2+3}{2}$
queda por ver si $\sqrt{2n} >< \frac{n^2+3}{2}$
$\text{A)} n^2 -2 \sqrt{2n}+3><0$
$\text{Para }n=1 \Rightarrow \text{A)}>0$
Al ser la función creciente.
Por tanto, A)>0 y $\sqrt{2n}<\frac{n^2+3}{2}$
$n^2+1\geqslant p > \frac{n^2+3}{2}>\sqrt{2n}$