1r ciclo resolver series por el numero e (porque el limite sale 1^infinito)

[alba91]

hola
Por favor, ¿Alguién sabe resolver las series por el número e?
la serie que tengo es [(n+1)/(n+2)]^2n
si hago el limite de esa serie me sale 1 ^infinito por tanto hay que usar el número e
he intnetado hacerlo por el criterio de la raiz pero sale L = 1 dudoso
¡muchisimas gracias!

[GNzcuber]

Re: resolver series por el numero e (porque el limite sale 1^infinito)

Hola alba91,

Si tienes la siguiente sucesión de sumas parciales [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y usas el criterio de Cauchy (de la raíz) y te sale uno es porque no puedes decir nada. Por otra parte, puedes usar el criterio de d'Alembert (del cociente):

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n+3}\right)^{2n+2}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{2n} \\<br /> &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n+3}\right)^2 \left[\frac{(n+2)^2}{(n+3)(n+1)}\right]^{2n} \\<br /> &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n+3}\right)^2 \left[1+\frac{(n+2)^2-(n+3)(n+1)}{(n+3)(n+1)}\right]^{2n} \\<br /> &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n+3}\right)^2 \left[\left(1+\frac{1}{(n+3)(n+1)}\right)^{(n+3)(n+1)}\right]^{\frac{2n}{(n+3)(n+1)}} \\<br /> &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n+3}\right)^2\cdot \lim_{n\to\infty}e^{\frac{2n}{(n+3)(n+1)}} = 1<br /> \end{aligned}$$

Por el criterio de d'Alembert tampoco se puede decir nada :P.

Puedes probar con una integral impropia que se le asemeje y ver su comportamiento:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \sum_n^\infty \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{2n} &\simeq \int_{x_0}^\infty \left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{2x}\dd x \\<br /> &\simeq \int_{x_0}^\infty \left(1-\frac{1}{x+2}\right)^{2x}\dd x <br /> \end{aligned}$$

, a simple vista no se me ocurre cómo resolverla.

¿Te animas? Si se te ocurre otro método coméntalo que también estaré interesado .

¡Saludos!

[Editado] = Se me ha ocurrido otra forma. Tenemos que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , miremos el límite en el infinito de este término:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \lim_{n}\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{2n} &= \lim_n \left[\left(1+\frac{1}{-n-2}\right)^{-(n+2)}\right]^{-\frac{2n}{n+2}} \\<br /> &= \lim_{n} e^{-\frac{2n}{n+2}} = e^{-2} > 0<br /> \end{aligned}$$

Como el límite es mayor que cero la sucesión de sumas parciales es divergente.

[Cat_in_a_box]

Re: resolver series por el numero e (porque el limite sale 1^infinito)

Hola,

En primer lugar, para nada soy un experto en este tema. Sólo di pequeñas nociones de series en los últimos días de curso y lo poco que he leído por mi cuenta. Aún así, creo que se podría discutir la convergencia o divergencia de esta serie de una manera sencilla.

Además de los criterios de la raíz y de D'Alembert, como ya ha expuesto el compañero GNzcuber, también se puede recurrir a otro criterio de convergencia si los anteriores no nos dicen nada de la serie. Éste es, creo recordar el nombre, criterio de Raabe (no estoy seguro si se escribe así). Según éste, si tenemos una serie de términos positivos $\dst\sum_{k=1}^{\infty}a_n$, suponiendo que existe:

$$\lim_{n\to \infty} \left(1-\dst\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)= L, \quad L\in (-\infty,+\infty)$$

Entonces, podemos distinguir entre los siguientes casos:

>Si $L<1$ la serie es divergente.
>Si $L>1$ la serie converge.
>Si $L=1$ más vale que busquemos otro método.

Pues si calcular el límite obtienes que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Es decir, se encontraría en el primer caso, $L<1$, luego la serie diverge.

Saludos,

[GNzcuber]

Re: resolver series por el numero e (porque el limite sale 1^infinito)

Yo también he hecho poco sobre series, y ya hace más de un año. Este año volveré a hacer y con más profundidad, así que veré el método de Raabe (o como se escriba ), ya que no lo conocía.

Por otra parte, decir a alba91, que en este caso realmente no hace falta un método. Para que una sucesión sea convergente, lo primero que se debe cumplir es que el límite de los términos sea cero, sinó siempre habría una contribución que sumar, y al haber infinitos términos la serie divergería.

¡Saludos!

[alba91]

Re: resolver series por el numero e (porque el limite sale 1^infinito)

muchisimas gracias!!
si, era por Raabe lo que pasa que aun no lo había estudiado
pero mi duda es que si hago el limite , el limite sale 1^infinito, que es indeterminacion y no se resolver esa indeterminacion, es por eso por lo que no sabia si era divergente o convergente, ¿O se puede usar el criterio de D´Alembert y Raabe sin tener que hacer el límite del principio?
Es que como no sé resolver indeterminaciones del tipo 1^infinito (para ver si es distinto de cero y por tanto diverge) lo que haré será que si me sale 1^infinito utilizare los criterios sin resolver el limite...

[Cat_in_a_box]

Re: resolver series por el numero e (porque el limite sale 1^infinito)

Hola,

Es que como no sé resolver indeterminaciones del tipo 1^infinito

Una cosa, ¿no sabes resolver ninguna indeterminación del tipo $1^{\infty}$? Puedes buscar en tus apuntes, porque seguro que encontrarás cómo resolverlo. De todas formas, tomando este como ejemplo, verás que es muy sencillo. Simplemente se trata de ir ''modificando'' un poco la expresión para que resulte igual a la del número e. Tomemos como ejemplo el límite que tienes:

$$\lim_{n\to \infty} \left(\dst\frac{n+1}{n+2}\right)^{2n}= 1^{\infty}$$

Pues bien, no tienes más que transformar este límite en una potencia del número e, que sería:

$$\lim_{n\to a}\left(1+\dst\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=\mathrm{e}$$

Pues bien, comencemos sumando 1 a nuestro límite para que vaya tomando forma. A la vez, para no cambiar nada, lógicamente hemos de restar uno. Es decir, nuestro límite quedaría de la forma:

$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\dst\frac{n+1}{n+2}-1\right)^{2n}$$

Vamos a operar un poco para obtener una expresión más cercana a la del número e:

$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\dst\frac{n+1}{n+2}-1\right)^{2n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\dst\frac{n+1-n-2}{n+2}\right)^{2n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\dst\frac{-1}{n+2}\right)^{2n}$$

Ahora, vamos a por la ''segunda parte'' del límite. Para ello, pondremos un uno en el numerador y consecuentemente tendremos que ''invertir'' la fracción, para no alterar la expresión :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Ahora, vamos a por el exponente. Fijandonos de nuevo en la expresión del número e, no tenemos nada más que jugar un poco:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Por las propiedades de los límites, sabemos que el límite de una potencia es igual al límite de la base elevado al límite del exponente. Y fíjate, el límite de la base no es más que el número e, por tanto, tenemos que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Puedes resolver el límite del exponente por separado, pero se ve a simple vista que es -2 (claro se trata de una indeterminación de infinito partido de infinito que hay que resolver, pero es muy sencillo). Por tanto, el límite quedaría:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como ves, es un poco arduo transformar el límite de esta manera. Hay otros métodos, por ejemplo yo lo haría tomando logaritmos neperianos y luego resolviendo por L'Hôpital o lo que se precie. Aunque bueno, si quieres ser algo más pragmática y no hacer tanto trabajo, puedes utilizar una fórmula general para resolver este tipo de indeterminaciones. Personalmente, a mí no me gusta, ya que mucha gente la utiliza sin saber lo que está haciendo, pero bueno, es esta:

$$\boxed{\dst\lim_{x\to a}\left(\dst\frac{f(x)}{(g(x)}\right)^{h(x)}=\mathrm{e}^{\dst\lim_{x\to a} h(x)\left(\dst\frac{f(x)}{g(x)}-1\right)}}$$

Saludos,

[alba91]

Re: resolver series por el numero e (porque el limite sale 1^infinito)

Al final encontré como resolverlo pero de otra forma distinta a la tuya
lo que yo hago es lim f(x) ^g (x) = e ^[lim (f(x) -1) * g (x)]

Pero muchas gracias por la ayuda!!!

[Ulises7]

Re: resolver series por el numero e (porque el limite sale 1^infinito)

Al final encontré como resolverlo pero de otra forma distinta a la tuya
lo que yo hago es lim f(x) ^g (x) = e ^[lim (f(x) -1) * g (x)]

Pero muchas gracias por la ayuda!!!

No es una forma distinta a la de Cat_in_a_box, la única diferencia reside en que la función que tu llamas f(x) él la llama f(x)/g(x). Asimismo, tú llamas a la función del exponente g(x) y él h(x). Es exactamente la misma fórmula pero con nomenclatura ligeramente diferente.

Saludos

[Cat_in_a_box]

Re: resolver series por el numero e (porque el limite sale 1^infinito)

Hola de nuevo,

Sí, es lo que te ha dicho Ulises7. Se trata simplemente de otra notación. De todas formas, no hace falta que memorices fórmulas, ya que con el tiempo se olvidan y acaban jugándote una mala pasada. Por tanto, estaría bien que conocieras de dónde viene esa expresión. Verás que para llegar a ella se hacen los mismos pasos que he seguido yo para el límite de antes. Para que no te líes, utilizaré tu notación. Sea por tanto un límite:

$$\dst\lim_{n\to\infty} \left[f(x)\right]^{g(x)}=1^{\infty}$$

Pues hacemos lo mismo de antes. Sumamos y restamos uno para ir acercándonos a la forma del número e:

$$\dst\lim_{n\to\infty} \left[f(x)\right]^{g(x)}=\dst\lim_{n\to\infty}\left(1+f(x)-1\right)^{g(x)}$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Ahora, nos metemos con el exponente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Modificando un poco la expresión, tenemos que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Finalmente, de acuerdo con las propiedades de los límites:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Teniendo en cuenta el valor del límite de la base:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Podemos escribir ya la fórmula general que es la que has puesto tú:

$$\boxed{\dst\lim_{n\to\infty} \left[f(x)\right]^{g(x)}=\mathrm{e}^{\dst\lim_{x\to \infty} g(x)\left[f(x)-1\right]}}$$

Saludos,

PD: Como ves no hace falta memorizar nada, sabiendo los pasos necesarios para llegar a esa fórmula, no necesitas nada más.