Otras carreras Parametrización

[Elias]

Determinar la parametrización de la curva dada por las ecuaciones $\begin{matrix}{ (x-2)^2 + (y-1)^2=4}&\mbox{ si }& 1\leq{y\leq{3}}\\y=\displaystyle\frac{1}{2}(x+2) & \mbox{si}& 0\leq{y\leq{1}}\\\displaystyle\frac{x^2}{4} + y^2=1 & \mbox{si}& -1\leq{y\leq{0}}\\\displaystyle y=\frac{1}{2}(x-2) & \mbox{si}& 0\leq{y\leq{1}}\end{matrix}$

en el sentido antihorario.


$C_1: (x-2)^2 + (y-1)^2=4,1\leq y\leq{3}$
$r_1(t)=(2+2cos(t),1 +2sen(t), 0\leq t\leq{\pi}$

$C_2=\displaystyle\frac{1}{2}(x+2), 0\leq{y\leq{1}}$
$r_2(s)=(0-2s,1-s)$ $0\leq{s\leq{1}}\rightarrow{\pi \leq{s+\pi \leq{1+\pi }}}\rightarrow{t=s+\pi }$
${r_2(s)= (-2(t-\pi ), 1+ \pi -t), \pi <t\leq{1 +\pi }}$

$C_3=\displaystyle\frac{x^2}{4} + y^2=1, -1\leq y\leq{0}$
$r_3(w)=(2cos(w),sen(w))$ $\pi\leq{w\leq{2\pi}}\rightarrow 1+\pi\leq{1+w\leq{1+2\pi}}\rightarrow{t=1+w\rightarrow{w=t-1}}$

Hola buenas cuando me mandan a parametrizar esto $C_1: (x-2)^2 + (y-1)^2=4,1\leq y\leq{3}$ es de esta forma $r_1(t)=(2+2cos(t),1 +2sen(t), 0\leq{t\leq{4}}$, pero que hacen ellos para obtener el intervalo donde esta definida esa parametrización ??? muchas gracias

[Al2000]

Re: Paremetrización

Supongo que copiaste mal y que el parámetro varía entre cero y Pi: $0 \le t \le \pi$. Con estos valores del parámetro, se describe la mitad superior del círculo $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$ en sentido antihorario.

Saludos,

Al

[Elias]

Re: Paremetrización

Supongo que copiaste mal y que el parámetro varía entre cero y Pi: $0 \le t \le \pi$. Con estos valores del parámetro, se describe la mitad superior del círculo $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$ en sentido antihorario.

Saludos,

Al

Si Al2000 tienes razón, ahora si como es que obtenemos ese intervalo en la parametrización tambien tengo duda cuando me mandan a parametrizar la recta

Ahh bueno Al ya creo saber por donde sale ya te lo escribo! pero con la recta sigo teniendo dudas

[Elias]

Re: Paremetrización

A bueno ya creo de donde sale el intervalo $0\leq t\leq{\pi }$ en la parametrización tenemos que $y= 1+2sen(t)$ entonces $1=1 +sen(t)\rightarrow{sen(t)=0}\rightarrow{t=0}$ tomando el arcoseno

Ahora para $y=3$ tenemos que $3=1 + 2sen(t)$ pero veo que esto me da $\pi$

[Al2000]

Re: Paremetrización

...Ahora para $y=3$ tenemos que $3=1 + 2sen(t)$ pero veo que esto me da $\pi$

Mas bien $\pi /2$. Ese punto sería la parte superior del semicírculo C1.

Saludos,

Al

[Elias]

Re: Paremetrización

hola pero la respuesta es que t esta entre 0 y pi como tu dices pero como llego a ello

[Al2000]

Re: Paremetrización

El inicio del semicírculo está en el punto de coordenadas $(x,y) = (4,1)$ y la otra punta en las coordenadas $(x,y) = (0,1)$. Con la parametrización propuesta, eso corresponde a los valores de $t = 0$ y $t = \pi$. Estos valores son los primeros que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones $(x,y) = (2 + 2 \cos t, 1 + 2 \, \mathrm {sen} \, t)$. Si conseguir $t$ no te resulta evidente (el conocimiento de como son las funciones seno y coseno es fundamental para eso), tendrías que resolver el sistema en cada punto. Por ejemplo, para el punto incial, tendría que cumplirse que

$$<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> x &= 2 + 2 \cos t = 4\\<br /> y &= 1 + 2 \, \mathrm {sen} \, t = 1<br /> \end{aligned}\right . \quad \Rightarrow \quad <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> \cos t &= 1 \\<br /> \mathrm {sen} \, t &= 0 <br /> \end{aligned}\right . \quad \Rightarrow \quad <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> t &= 2n \pi,\,n = 0, 1, \ldots \\<br /> t &= m \pi,\,m = 0, 1, \ldots <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

y de aquí elegir $t = 0$ como el valor inicial del parámetro. Nota que se podrían usar también $t = 2 \pi$, $t = 4 \pi$, etc., si tuvieses un buen motivo para hacerlo.

Algo similar haces con el otro extremo del semicírculo:

$$<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> x &= 2 + 2 \cos t = 0\\<br /> y &= 1 + 2 \, \mathrm {sen} \, t = 1<br /> \end{aligned}\right . \quad \Rightarrow \quad <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> \cos t &= -1 \\<br /> \mathrm {sen} \, t &= 0 <br /> \end{aligned}\right . \quad \Rightarrow \quad <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> t &= (2n+1) \pi,\,n = 0, 1, \ldots \\<br /> t &= m \pi,\,m = 0, 1, \ldots <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

y elegir $t = \pi$ como el valor del parámetro (o $t= 3 \pi$, $t= 5 \pi$, etc. si te pusiste creativo en el punto anterior ).

Con algo de práctica y experiencia ya no haces nada de esto sino que reconoces que para describir un círculo completo debes ir de 0 a 2$\pi$ en los valores del parámetro, de 0 a $\pi$, para media circunferencia, bla bla bla...

Saludos,

Al

[Elias]

Re: Paremetrización

Hola Al una pregunta como obtienes esos puntos de coordenadas (x,y)=(4,1) y la otra punta (x,y)=(0,1) para decidir el intervalo como dices tu tengo que elegir los valores que estan entre 0 y 2pi. Disculpa que pregunte tanto pero dentro de una semana comienzo el curso para adelantar cálculo 3 y estoy estudiando teoría (cosa que no tiene la guía donde sale este problema) porque este curso es largo para apenas 7 semanas de clases

[Elias]

Re: Paremetrización

Determinar la parametrización de la curva dada por las ecuaciones [tex]\begin{Bmatrix}{ (x-2)^2 +
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$r_3(w)=(2cos(w),sen(w))$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Al Para el caso de la Elipse que debo considerar para ver en el intervalo donde esta definida la parametrización no entiendo lo que hacen. Muchas gracias Al!

[Al2000]

Re: Paremetrización

La ecuación de un círculo de centro $(h,k)$ y radio $R$ es $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$. Entonces por comparación, la curva propuesta C1 representa un círculo de cento (2,1) y radio 2. Está claro que los valores de $x$ y $y$ están comprendidos en los rangos $0 \leqslant x \leqslant 4$ y $-1 \leqslant y \leqslant 3$. El problema te limita los valores de $y$ al rango $1 \leqslant y \leqslant 3$, de modo que lo que en definitiva tienes es el medio círculo superior.

Saludos,

Al

[Elias]

Re: Paremetrización

Maravilloso al ahora si todo claro!! Muchas gracias espero si tienes tiempo que me ayudes a enterder la de la elipse ! Mil gracias Al

[Al2000]

Re: Paremetrización

Al Para el caso de la Elipse que debo considerar para ver en el intervalo donde esta definida la parametrización no entiendo lo que hacen...

Cuando preguntes algo, por favor no personalices la pregunta, deja la opción abierta de que cualquiera del foro responda sin sentirse incómodo.

Respondiendo a tu pregunta, tendrías que reconocer que la ecuación C3 representa una elipse centrada en el origen y de semiejes de longitud 2 y 1. Los rangos que pueden tomar $x$ y $y$ son $-2 \leqslant x \leqslant 2$ y $-1 \leqslant y \leqslant 1$. Adicionalmente el problema te limita $y$ a los valores de la mitad inferior de la elipse.

La parametrización de la elipse es (casi) idéntica a la del círculo, pero los factores que multiplican las funciones seno y coseno son diferentes. Estos factores son iguales al radio en la parametrización del círculo, pero en la elipse un factor es la longitud del semieje $x$ y el otro factor la del semieje $y$. La determinación de los valores extremos del parámetro es igual a como se hace en el caso del círculo.

Saludos,

Al

[Elias]

Re: Paremetrización

Hola disculpa no fue mi intención personalizar

Para el caso e la elipse efectivamente al hacer la gráfica obtenemos que $-2\leq{x\leq{2}}$ y $-1\leq{y\leq{1}}$ pero como nos imponen la restrición nos queda semi-elipse que como nos dicen que debemos parametrizar en sentido antihorario comenzaria en $(x,y)=(-2,0)$ y terminaría en $(2,0)$ como la elipse de ecuación $\displaystyle\frac{(x-h)^2}{a^2} + \displaystyle\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ recorrida en el sentido antihorario se parametriza como $f(t)=(h +acos(t), k +bsen(t))$ , $t\in{[0,2\pi]}$ en nuestro caso nos queda $f(t)=(2cos(t),sen(t))$ ahora para encontrar el intervalo donde esta definida esta parametrización, tenemos que para $(x,y)=(-2,0)$ entonces $x=2cos(t), y=sen(t)$ para $-2=2cos(t)$ y $0=sen(t)$ tenemos que $t=\pi$, ahora para $1=cos(t), 0=sen(t)$ puedo tomar $2\pi$ entonces $\pi\leq{t\leq{2\pi}}$ pero como esta en la guia no se incluye a $\pi$ no veo por qué? creo que esto es equivalente a lo que obtenemos $\pi <t\leq{1 +\pi }$

[Elias]

Re: Paremetrización

Por último

Una recta que pasa por los puntos $(x_0,y_0)$ y $(x_1,y_1)$ recorrida en el sentido que va desde $(x_0,y_0)$ a $(x_1,y_1)$ la parametrizamos de la siguiente manera $f(t)=(x_0 + (x_1 - x_0)t, y_0 + (y_1 - y_0)t)$ con $t\in{\mathbb{R}}$

Ahora en nuestro caso $y=\frac{1}{2}(x-2)$ con $0\leq{y\leq{1}}$ si graficamos según la restrición entonces la recta pasará por los puntos $(-2,0)$ y $(0,1)$ ahora acá creo que es así por favor decirme si es correcto? como me dicen en sentido antihorario en este caso va desde $(0,1)$ a $(-2,0)$ correcto? entonces $(x_0,y_0)=(0,1)$ a $(x_1,y_1)=(-2,0)$ por lo que nuestra recta parametrizada es $f(t)=(-2t,1-t)$ ahora para saber el intervalo donde esta definida estudiamos $x=-2t, y=1-t$ entonces para $(0,1)$ tenemos que $t=0$ ahora para $(-2,0)$ tenemos que $t=1$ esto quiere decir que $0\leq{t\leq{1}}$ acá ocurre el mismo problema no incluyen al cero. Bueno hasta mañana son las 2:20 am

[Al2000]

Re: Paremetrización

...entonces $\pi\leq t\leq{2\pi}$ pero como esta en la guia no se incluye a $\pi$ no veo por qué? creo que esto es equivalente a lo que obtenemos $\pi <t\leq{1 +\pi }$

...esto quiere decir que $0\leq{t\leq{1}}$ acá ocurre el mismo problema no incluyen al cero...

Los rangos que estás poniendo para los valores de $t$ en el segmento rectilíneo y el arco inferior de la elipse son correctos, pero estás pasando por alto que el autor de la parametrización que estás estudiando ajustó los valores de $t$ para que haya una variación continua en toda la curva.

Es por eso que si parametrizas el semicírculo superior corriendo $t$ desde cero hasta $\pi$ y la recta que va a continuación la parametrizas corriendo el parámetro desde cero hasta 1, entonces habría un conflicto. Por eso desplazas el parámetro que describe la recta en una cantidad igual al valor del parámetro al final del arco circular.

En lo que copiaste en tu primer mensaje está bastante claro, si sabes lo que tienes que mirar. Fíjate que el autor usa la letra $s$ para el parámetro local de la recta (si lo podemos llamar así) y obtiene la parametrización

$$C_2: (-2s, 1-s),\quad 0 \leqslant s \leqslant 1$$

que es la misma que tu has escrito (usando $t$). A continuación el autor ajusta el parámetro para hacer que "empate" con la curva anterior. Como el parámetro $t$ tiene como último valor $\pi$ en la curva C1, entonces lo que haces es sumar este valor al parámetro $s$ y ajustar la ecuación de C2:

$$0 \leqslant s \leqslant 1$$

sumamos $\pi$:

$$\pi \leqslant s + \pi \leqslant 1 + \pi$$

y este será el rango del parámetro $t$ en el segmento rectilíneo

$$\pi \leqslant t \leqslant 1 + \pi$$

es decir, que el valor de $t$ debe ser $t = s + \pi \,\, \Rightarrow \,\, s = t - \pi$. Ahora nos regresamos a la parametrización de la recta y cambiamos $s$ por $t - \pi$:

$$C_2: (-2(t - \pi ), 1-(t-\pi )),\quad \pi \leqslant t \leqslant 1 + \pi$$

Un "empate" similar se hace cuando conectas el segmento de recta con el arco de elipse. Nota que el autor usa la letra $w$ para parametrizar el arco de elipse y obtiene la misma parametrización que tu planteas. Luego hace las operaciones necesarias para ajustar el valor inicial del parámetro para que coincida con el valor final del parámetro en C2.

Bueno, espero que te haya sido de provecho el sueño y que las neuronas las tengas afiladas en el nuevo día jajaja

Saludos,

Al