1r ciclo Integrales convergentes

[kuvala]

Hola Buenas :

Tengo algunas dudas en este tema en general y otra en un caso particular de un ejercicio.

En el caso general, cuando se utiliza el criterio de comparación por paso al límite para ver la convergencia de una integral, la función $g(x)$ (tal que $f(x)<g(x)$, siendo $f(x)$ la función a integrar),

- ¿es una función cualquiera con la única condición de que sea mayor que $f(x)$?

- ¿Se elige por tanteo para que sea del mismo carácter que $f(x)$? (por cierto, no tengo claro qué es lo que significa que una función sea "del mismo carácter" a otra)

- Si se elige por tanteo, o por decirlo de otra manera, con un "poco de vista", ¿tenéis algún consejo o algún truco para que la elección de esa función $g(x)$ sea más fácil?

- ¿Hay algunas pautas a seguir para resolver ejercicios como el que muestro a continuación?

Ahora el caso particular.

Tengo el siguiente ejercicio:

"Prueba que ${{\int}_{ 0} }^{\infty }f(x)dx$<0, o lo que es lo mismo, $-{{\int }_{0 } }^{ 1}f(x)dx$>${{\int}_{ 1} }^{\infty }f(x)dx$,

siendo $f(x)={e}^{-x }ln(x), x\in (0,+\infty )$"

En la primera parte de la resolución pone que al ser ${e}^{ -x}$ decreciente tiene que verificarse $\dst \frac{1}{ e}\leqslant {e}^{ -x}\leqslant 1$ para todo $x \in (0,1)$. Puesto que $ln(x)<0$ en este intervalo obtenemos que:

$\dst ln(x)\leqslant {e}^{ -x}ln(x)\leqslant \frac{1}{ e}ln(x)$

para todo $x \in (0,1)$

¿Esto último como lo ha obtenido?

Y en la segunda parte de la resolución me pasa algo por el estilo, que no lo entiendo.

Pone que para el intervalo $[1,\infty )$ es fácil comprobar que $ln(x)<\frac{x}{2 }$ para todo $x\geqslant 1$. En efecto, el mínimo de la función $\frac{x}{2 }-ln(x)$ en el intervalo $[1,\infty )$ se alcanza en el punto x=2 y vale $1-ln(2)>0$, luego tenemos $\frac{x}{2 }-ln(x)>0$ para todo $x\geqslant 1$ y, por tanto, se verifica que

${e}^{ -x}ln(x)<\frac{x}{2 }{e}^{ -x}$ para todo $x\geqslant 1$

¿Por qué multiplica $\frac{x}{ 2}$ con ${e}^{ -x}$?

¿En qué se basa para obtener la desigualdad $\frac{x}{ 2}-ln(x)>0$ y después decir que "por tanto, se verifica que ${e}^{ -x}ln(x)<\frac{x}{2 }{e}^{ -x}$"?

Muchas gracias

Un Saludo

[skinner]

Re: Integrales convergentes

Te recomiento encarecidamente que te hagas con el libro recomendado en nuestra facultad (la ESI de Sevilla): Cálculo de una variable, de Thomas. Por lo menos yo fui capaz de ver eso que tú estudias mucho más claro, puesto que te vienen miles de ejemplos. También tengo las respuestas de Todos los problemas (pares e impares). Si necesitas la respuesta de alguno puedo facilitártela de aquí.

Recuerdo que en concreto, estamos hablando del capítulo 11 del libro que puse arriba.

Y bueno, para no dejar mal sabor de boca, te respondo a una cosita que preguntaste (es a lo único que puedo ayudarte)

Dices:


"En la primera parte de la resolución pone que al ser decreciente tiene que verificarse para todo . Puesto que en este intervalo obtenemos que:

para todo

¿Esto último como lo ha obtenido?"

Para que se mantenga la igualdad al multiplicar por para todo , observemos que los signos de las igualdades cambian (porque como ya hemos dicho, ln(x)<0), de modo que obtenemos:

Es un paso que hay que dar para calcular g(x).

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Por cierto, ¿de qué titulación eres? ¿Te da Carrión? Me huele que tú eres de Aeroespaciales, como yo.

Un saludo!

[GNzcuber]

Re: Integrales convergentes

En el caso general, cuando se utiliza el criterio de comparación por paso al límite para ver la convergencia de una integral, la función $g(x)$ (tal que $f(x)<g(x)$, siendo $f(x)$ la función a integrar),

- ¿es una función cualquiera con la única condición de que sea mayor que $f(x)$?

La idea de hacer ésto, es encontrar una función $g(x)>f(x)$ pero más manejable y ver que converge en el mismo intervalo. Si $\displaystyle \int_a^\infty f(x) \le \int_a^\infty g(x) = k\in \mathbb{R}$, entonces $\displaystyle \int_a^\infty f(x)$ también converge.

- ¿Se elige por tanteo para que sea del mismo carácter que $f(x)$? (por cierto, no tengo claro qué es lo que significa que una función sea "del mismo carácter" a otra)

Se supone que debes tener cierta práctica y saber qué función es mayor que cual. Por ejemplo si $x\to\infty$ deberías saber el siguiente orden de infinitos:

$$\displaystyle x^x \gg x! \gg b^x \gg x^a \gg \log(x),\quad a>0,b>1$$

De la misma manera debes saber que para $x>1\Rightarrow x^b>x^a \Leftrightarrow b>a>0$.

Que sea del mismo carácter entiendo que su cociente en el límite que necesitas es un número finito diferente de cero, es decir son infinitos ó infinitésimos equivalentes según el caso.

- Si se elige por tanteo, o por decirlo de otra manera, con un "poco de vista", ¿tenéis algún consejo o algún truco para que la elección de esa función $g(x)$ sea más fácil?

Práctica.

- ¿Hay algunas pautas a seguir para resolver ejercicios como el que muestro a continuación?

Hace tiempo que no hago :P, pero por lo primero que deberías comenzar es ver las singularidades y los infinitos. Y evaluar cada una de esas integrales, si una diverge la suma divergirá. Y para tratar de ver la convergencia de cada una de las integrales, lo dicho anteriormente: práctica.

"Prueba que ${{\int}_{ 0} }^{\infty }f(x)dx$<0, o lo que es lo mismo, $-{{\int }_{0 } }^{ 1}f(x)dx$>${{\int}_{ 1} }^{\infty }f(x)dx$,

siendo $f(x)={e}^{-x }ln(x), x\in (0,+\infty )$"

Aquí como te he dicho, vemos que en $x=0$ hay una singularidad, ya que $\displaystyle \lim_{x\to 0}\log(x)=-\infty$, y luego la respectiva evaluación en el infinito, que también tenemos el mismo problema. Lo que hace es separarlo en intervalos, y evaluando en $(0,a]$ y $[a,\infty)$, con $a=1$.

En la primera parte de la resolución pone que al ser ${e}^{ -x}$ decreciente tiene que verificarse $\dst \frac{1}{ e}\leqslant {e}^{ -x}\leqslant 1$ para todo $x \in (0,1)$. Puesto que $ln(x)<0$ en este intervalo obtenemos que:

$\dst ln(x)\leqslant {e}^{ -x}ln(x)\leqslant \frac{1}{ e}ln(x)$

para todo $x \in (0,1)$

¿Esto último como lo ha obtenido?

Mira el post de skinner arriba.

Y en la segunda parte de la resolución me pasa algo por el estilo, que no lo entiendo.

Pone que para el intervalo $[1,\infty )$ es fácil comprobar que $ln(x)<\frac{x}{2 }$ para todo $x\geqslant 1$. En efecto, el mínimo de la función $\frac{x}{2 }-ln(x)$ en el intervalo $[1,\infty )$ se alcanza en el punto x=2 y vale $1-ln(2)>0$, luego tenemos $\frac{x}{2 }-ln(x)>0$ para todo $x\geqslant 1$ y, por tanto, se verifica que

${e}^{ -x}ln(x)<\frac{x}{2 }{e}^{ -x}$ para todo $x\geqslant 1$

¿Has entendido la verificación?

¿Por qué multiplica $\frac{x}{ 2}$ con ${e}^{ -x}$?

Porque el problema inicial era con $f(x)=\log(x)e^{-x}$, lo que se quiere hacer es buscar $\displaystyle g(x)=\frac{x}{2}e^{-x}>f(x)$ y demostrar que $\displaystyle \int_1^\infty g(x) = k\in\mathbb{R}$, es decir converge, por lo tanto $\displaystyle \int_1^\infty f(x)$ también converge.

¿En qué se basa para obtener la desigualdad $\frac{x}{ 2}-ln(x)>0$ y después decir que "por tanto, se verifica que ${e}^{ -x}ln(x)<\frac{x}{2 }{e}^{ -x}$"?

Eso significa que no has entendido la verificación.

La función $\displaystyle h(x)=\frac{x}{2}-\log(x)$ tiene un mínimo en el intervalo que estamos estudiando $2\in [1,\infty)$, y el valor de la función $h(2)>0$ lo que significa que $\displaystyle \frac{x}{2}>\log(x),\quad \forall x\in[1,\infty)$.

Luego, como sabes esta desigualdad, la puedes multiplicar por un número positivo que no afectará la desigualdad (valga la redundancia), como $e^{-x}>0, \forall x\in\mathbb{R}$, entonces $\frac{x}{2}e^{-x}>\log(x)e^{-x}$.

Ahora falta mostrarte que $\displaystyle \int_1^\infty \frac{x}{2}e^{-x}\dd x = k\in\mathbb{R}$ por lo que la integral $\displaystyle \int_1^\infty \log(x)e^{-x}\dd x$ convergerá.

¡Saludos!

[skinner]

Re: Integrales convergentes

Qué respuesta más personalizada. Gracias, a mí también me sirvió de repaso.

Un saludo!