Divulgación función de onda no armónica

[guibix]

Hola gente,

Tengo una función $f(\omega)$ que define un espectro de amplitud $A$ respecto a la velocidad de fase $\omega$. Mi intención es encontrar la función de onda de ese espectro respecto a $t$. Suponiendo que el espectro no cambia con el tiempo.

Sé que esto es lo de la transformada de Fourier a la inversa, pero no domino esa matemática.

Yo he llegado a la expresión

$A=f(\omega)sin(\omega t)$

Eso me permite tener la función de onda respecto a $t$ para cada $\omega$. Al tener dos variables ($\omega,t$), eso me da una superfície 2D en un espacio 3D con $x=\omega$, $y=t$ y $z=A$. Lo que pretendo es conseguir la integral definida de a $\infty$ de los valores de $A$ respecto a $\omega$, para tener una función de $A$ respecto a $t$ de una variable, es decir, que cada $t$ tenga un sólo valor $A$ que resulte de integrar todas las $A$ respecto a $\omega$.

¿Cómo debo montar la integral?

¿Es una integral definida en $\omega$ e indefinida en $t$?

Entiendo lo que quiero conseguir, pero no logro ver como lo puedo lograr.

Espero haberme explicado lo suficiente, ni no se entiende, ya me diréis

Gracias y saludos.

[guibix]

Re: función de onda no armónica

Hola,

Al final encontré la solución por casualidad en la ayuda de la función de la transformada inversa de Fourier del Mathematica. Precisamente estaba en la notación que yo usé y la solución era tan evidente que no sé porqué la descarté:

$$\int_0^{\infty} f(\omega) sin(\omega t) d\omega$$

Con esto ya está solucionado, pero me surgen algunos problemas:

El caso que yo intento solucionar es con una función de Gauss con tres parámetros como función del espectro:

$$f(\omega)=\dfrac{a}{b\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\omega-c)^2}{2b^2}}$$

Donde $a\in\mathbb{R}>0$ es el área bajo la curva, $b\in\mathbb{R}>0$ es proporcional a la anchura del pico y $c\in\mathbb{R}$ es la posición del máximo de la función. $\dfrac{1}{b\sqrt{2\pi}}$ es lo que obliga a mantener constante el área bajo la curva.

Substituyendo en la integral queda:

$$\int_0^\infty\dfrac{a}{b\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\omega-c)^2}{2b^2}}sin(\omega t) d\omega$$

Aquí es dónde tengo el problema, no encuentro la forma de resolverla. Lo probé por partes, por activa y por pasiva, pero nada, ni el Derive 6, ni el Matemática 7 la resuelven. Solo dan la misma expresión con la integral como resultado.

Lo monté con Matemática con los parámetros en barras interactivas mostrando el resultado en una gráfica. Ya que el parámetro $c$ de posición del máximo lo muevo entre 10 y 20, cambié el infinito por 100 dónde la función casi siempre tiende a 0, haciendo negligible el área a integrar más allá de 100.

Para mi sorpresa, después de pillarse un buen ratito pensando, lo resuelve así:

$$,$$

¡¿A dónde voy yo con esto?! Me veo incapaz de resolverlo así, con exponenciales complejas y funciones de error también complejas. ¿Es esto el método de Fourier?

Pero al poder ver el gráfico de la función de onda, enseguida me di cuenta de que tenía que ser una función mucho más simple. Después de indagar y probar un poco, di con esta función de onda:

$$ae^{\frac{b^2t^2}{2}}sin(ct)$$

Me lo mirado del derecho, del revés, hasta 15 decimales a lo largo de $t$ y los resultados de las funciones 4 y 5 siempre son idénticos, la integral la hice de -100 a 100 para evitar problemas con la $c$ cerca del 0. Se puede deducir, al menos para $\omega$ y $t$ reales que:

$$\int_{-\infty}^\infty\dfrac{a}{b\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\omega-c)^2}{2b^2}} sin(\omega t) d\omega= ae^{\frac{b^2t^2}{2}}sin(ct)$$

Esto es lo que hice para comprobarlo:

Hay las dos funciones superpuestas a la izquierda y el espectro correspondiente a la derecha. Hay tres variaciones de b y c.





Lo he probado con la secante hiperbólica y también hay otra función asociada:

$$\int_{-\infty}^\infty\dfrac {a} {\pi b} sech\left(\frac {\omega-c}{b}\right) sin(\omega t) d\omega=a.sech\left(\frac{bt}{2}\right)sin(ct)$$

Creo que al menos se cumple para funciones de distribución tipo gauss, ahora estoy probando con la función de distribución Cauchy-Lorentz:

$$f(\omega)= \dfrac{a}{\pi b}.\dfrac{1}{1+(\frac{\omega-c}{b})^2}$$

Aún estoy en ello, pero la cosa creo que sería algo así como:

$$\int_{-\infty}^\infty\dfrac{a}{\pi b}.\dfrac{1}{1+(\frac{\omega-c}{b})^2} sin(\omega t) d\omega=ka\dfrac{1}{1+(jbt)^2}sin(ct)$$

con los valores k y j por determinar.

¿Es esto correcto, o sólo lo parece?

¿Si es correcto, hay un método más general para resolver este tipo de integral, o sólo se da esa casualidad en estos casos?

Parece ser que un espectro gaussiano o parecido genera una onda en un solo “paquete” de ondas con la máxima intensidad en $t=0$, cuando todas las ondas sumadas en la integral están en fase y la onda es de la frecuencia que corresponde al máximo de la función. Se puede demostrar que cuanto más diferente es $t$ de 0, más se interfieren las ondas hasta tender a anularse, esto significa que si se tiene un espectro continuo gaussiano durante un tiempo indefinido y que en un momento dado están todas las ondas en fase, entonces solo habrá un paquete de ondas con una máxima intensidad en este mismo momento, pero en ningún otro momento volverán entrar en fase y tenderán a anularse al “alejarse”, tanto antes como después de ese momento.

¿Cómo un espectro continuo gaussiano de tiempo infinito, es sólo un paquete de ondas durante un solo momento dado?

Esto, además tiene la consecuencia de que la misma función de onda tiene dos interpretaciones espectrales distintas: o bien tenemos un espectro gaussiano constante de tiempo indefinido; o bien un solo pico espectral de una sola frecuencia que varía la amplitud con el tiempo siguiendo otra curva gaussiana con el máximo en $t=0$.

¿Viendo la función de onda, cómo puedo distinguir cuál de los dos espectros es el bueno (si es que hay uno preferente)?

Por otra parte, si quiero conseguir una función de onda armónica pura, tengo que “estrechar” la función gaussiana haciendo que $b\to 0$, pero como el área bajo la curva se mantiene constante, entonces el máximo de la curva tiende a una amplitud infinita!

¿Cómo se concilia esto con la visión discreta de suma de frecuencias armónicas, dónde se suman sólo frecuencias discretas y puntuales con amplitudes bien definidas (como en el típico gráfico de frecuencias/amplitud de una secuencia armónica)?

Perdón por la parrafada y gracias.

Saludos.

[guibix]

Re: función de onda no armónica

Hola de nuevo,

Visto el éxito del hilo, voy a re-formular algunas cuestiones, aunque las cuestiones del post anterior siguen vigentes :

He podido comprobar las igualdades siguientes con la función gaussiana, la función secante hiperbólica y la función Cauchy-Lorentz respectivamente, con parámetros:

$$\int_{-\infty}^\infty\dfrac{a}{b\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\dfrac{(\omega-c)^2}{2b^2}} sin(\omega t) d\omega= ae^{-\frac 1 2 b^2t^2}sin(ct)$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\int_{-\infty}^\infty\dfrac{a}{b\pi}\cdot\dfrac{1}{1+(\frac{\omega-c}{b})^2} sin(\omega t) d\omega= a e^{-|bt|}sin(ct)$$

A simple vista no parece correcto, pero las tres las he comprobado hasta dónde he podido y parece que son correctas.

¿Porqué el Mathematica no puede resolverlo así?

¿Acaso he descubierto el "pamtumaca" (que decimos los catalanes) o es algún método conocido? ¿cual?

Sé que mis conocimientos son parciales, pero todo esto lo he deducido yo solito. Si alguien cree que me falta algo importante, algún tema que tendría que dominar, agradecería referencias y/o explicaciones.

Gracias de antemano y salud!

PD: No puedo demostrarlo analíticamente, pero numéricamente, las igualdades se cumplen. ¿Se puede considerar correcto aunque no tenga solución analítica?