1r ciclo Sobre la función Beta de Euler

[Amu]

Hola a todos, y en primer lugar gracias por leer el hilo

Estaba haciendo un ejercicio de cálculo de longitud de una lemniscata (r($\theta )=\sqrt[2]{cos(2\theta )}$). Operando, llego a la integral siguiente:
$\int {cos x}^{-\frac{1}{ 2} }\dd x$. La integral se calcula entre $\frac{\pi }{2 }$ y 0.

Lo que debería usar ahora sería la relación entre las funciones Beta y Gamma, con lo que me quedaría lo siguiente:

$B(\frac{1}{ 2},\frac{1}{4 })=\frac{\Gamma (\frac{1}{2 }) \Gamma (\frac{1}{4 }) }{\Gamma (\frac{3}{ 4}) }$.
Ello sale de que 2p-1=0 (exponente del seno) y 2q-1=$-\frac{1}{ 2}$ (exponente del coseno).

Yo me quedo aquí, porque no sé cómo obtener cuánto valen esas funciones Gamma.
En el ejercicio resuelto dice que $\Gamma (\frac{1}{ 4})=\sqrt{\pi }$, pero no sé de dónde lo obtiene, puesto que $\Gamma (n)=(n-1)!$, y no puedo hacer el factorial de un número que no es entero.
Alguien me dice de dónde sale esto último? Muchas gracias de antemano, si no me explico con algo, ruego que pregunten.

Saludos y buen verano.

[Becquerel]

Re: Sobre la función Beta de Euler

Para encontrar los valores de la función Gamma te recomiendo que busques en los libros de tablas, que vienen muchos valores ya calculados.

Recordamos que la función Gamma se define como:

$\int_0^\infty {t}^{x-1} {e}^{-t}dt$

Y tiene una propiedad muy útil:

$\Gamma (x+1) = x \Gamma (x)$

Por tanto, si quieres calcular la función gamma de $x = 1/4$ hacemos:

$\Gamma (\frac{1}{4} +1) = \frac{1}{4} \Gamma (\frac{1}{4})$

El valor de $\Gamma (\frac{5}{4}) = \Gamma (1.25)$ está tabulado y vale: 0,90640

Por tanto,

$\Gamma (\frac{1}{4}) = 3,6256$

Análogamente puedes obtener el valor de $\Gamma (\frac{3}{4})$ sabiendo que $\Gamma (\frac{7}{4}) = 0,91906$.

$\Gamma (\frac{3}{4}) = 1,2254$

Ya conoces los valores que te faltaban. Espero no haberme equivocado.

Un saludo!

[Amu]

Re: Sobre la función Beta de Euler

Muchas gracias por tu respuesta, buscaré las soluciones en las tablas. Aun así me gustaría saber si hay alguna forma de calcularlo sin ellas

[Becquerel]

Re: Sobre la función Beta de Euler

Pues puedes resolver numéricamente la integral que define la función Gamma (está puesta en el post) o buscar alguna fórmula que te permita obtener los valores a partir de otros conocidos.

Un saludo!