Secundaria Demostración de ecuación exponencial

[jggri]

Alguien sabría demostrar la siguiente ecuación:
${2}^{x }+{3}^{x }=13$
Está claro que $x = 2$ pero cómo se demuestra. Saludos.

[angel relativamente]

Re: Demostración de ecuación exponencial

Creo que el término correcto no es demostrar la ecuación, sino resolver. Si quieres demostrar que la solución es $x=2$ es bien simple, sustituyes ese valor en la ecuación, ves que se cumple y ya está. Ahora, si lo que quieres es resolverla de modo riguroso y llegar a la solución de que $x=2$ , le he dado varias vueltas y no he llegado a nada. Puedes decir que:

$$2^x+3^x=2^2+3^2$$

Y puesto que se trata de suma de potencias, al tener la misma base ambas potencias en cada miembro, han de tener el mismo exponente. Pero claro no es nada riguroso, esperemos a ver si alguien tiene una iluminación.
¡Un saludo!

PD: Me gusta la solución que da cat_in_a_box

[Cat_in_a_box]

Re: Demostración de ecuación exponencial

Hola,

Pues la verdad, es que al tratarse de primos se dificulta bastante ya que los métodos ''convencionales'' para resolver este tipo de ecuaciones, exponenciales, no sirven para mucho (con ello me refiero a tomar logaritmos en ambos lados de la expresión, hacer algún cambio de variable, utilzar propiedades de las potencias...)

Por tanto, dado que tu empeño es demostrar la igualdad, se me ocurre que podrías utilizar el teorema de Bolzano. Tienes la ecuación:

$$2^x+3^x=13\Rightarrow 2^x+3^x-13=0$$

Podemos considerar una función auxiliar:

$$h(x)=2^x+3^x-13$$

Esta función es continua $\forall x\in \mathbb{R}$, por lo que podemos elegir tranquilamente un intervalo y ver si se cumple el teorema de Bolzano. Probemos, en primer lugar, con el intervalo $[1,3]$

$$\begin{aligned}<br /> h(1)=&-8<0 \\<br /> h(3)=&22 >0<br /> \end{aligned}$$

Como la función es continua en dicho intervalo, y toma valores de signo contrario en los extemos, se cumple el teorema de Bolzano, por lo que:

$$\boxed{\exists \mathrm{c}\in (1,3) / h(c)=0}$$

De este modo, puedes iterar haciendo el intervalo cada vez más pequeño, por ejemplo el siguiente podría ser $[1.5,2.5]$ y así hasta encontrar ese $c/h(c)=0$, que en este caso $c=2$.

Tal vez haya otra manera más formal y mejor de hacerlo, pero dado mi nivel, esto es lo único que se me ocurre. Aunque también, podrías representar gráficamente la función que te he puesto y ver dónde se corta, o de un modo más visual, representar las funciones $f(x)=2^x+3^x$ y $g(x)=13$ y ver cuál es el punto de intersección, 2, claro está.

Saludos,

[jggri]

Re: Demostración de ecuación exponencial

Gracias por las respuestas. La verdad es que llevaba bastante tiempo pensando esa ecuación y no encontraba ninguna forma de resolverla, ni con logaritmos, ni con propiedades de potencias, etc. La explicación con el Teorema de Bolzano es bastante buena, pero me queda la duda si existe alguna forma de resolver algebraicamente esa ecuacón.

[angel relativamente]

Re: Demostración de ecuación exponencial

Como digo, me ha gustado la explicación de cat. Pero si en lugar de esa ecuación hubieses tenido esta:

$$2^{x^2}+3^{x^2}=13$$

Entonces tendrías dos soluciones $\dst \pm \sqrt 2$ y ya sería más difícil de encontrar por bolzano. Esa ecuación que te han dado es transcendente, o al menos a mí me lo parece, así que no la puedes resolver usando el álgebra. Así que si te empeñas, yo la haría utilizando la propiedad que te he comentado antes, pero dejándola bonita:

Sea $a^u+b^u=K$ , con u una función y K un número entero que podemos descomponer de modo $K=a^n+b^n$, entonces $n=u$. No es una propiedad difícil de demostrar y la puedes aplicar sin miedo. Claro que como decía, no es demasiado riguroso
¡Un saludo!

[Cromwell]

Re: Demostración de ecuación exponencial

Puedes intentar hacer un desarrollo en serie de Taylor Porque las derivadas son iguales. Como la función h es nula te saldrá un polinomio que te podrá orientar

[Cromwell]

Re: Demostración de ecuación exponencial

Creo que puedes demostrar que la función h es creciente homogénea así que no vuelve a pasar por el mismo valor. Si has encontrado un valor solución, es único. Es un teorema que se utiliza también las ecuaciones diferenciales, aunque allí se añade la unicidad de las soluciones.