1r ciclo Resto de Taylor para f(x)=senx

[Amu]

Hola a todos, venía a preguntar una pequeña dudilla que me ha surgido...

El polinomio de Taylor que se obtiene de la funcion f(x)=senx alrededor de a=0 es:

${P}_{2n+2 } (x)={P}_{2n+1 } (x)=x-\frac{x}{3! }+\frac{x}{5! }-...+({-1}^{n })\frac{{x}^{2n+1 } }{(2n+1)! }$

El polinomio de orden 2n+2 sería idéntico al 2n+1 porque la derivada ${f}^{2n+2) }=({-1}^{n })senx$, que evaluado en x=0 la hace nula.

Mi pregunta es si al añadir el resto de Taylor, éste debería ser de órden 2n+2 ó 2n+3. En los apuntes tengo que es 2n+3, pero me parece lógico que si el resto no es evaluado en x=0 sino en un punto c desconocido, la derivada 2n+2 no se anularía, y por tanto ese sería el grado del resto...

Gracias por leer, una vez más ;D

[beliytxuri]

Re: Resto de Taylor para f(x)=senx

Tienes razón Amu.
El resto de Taylor es de orden 2n+2, más concretamente

${R}_{2n+2 }(x)= \frac{{(-1)}^{n }\sin c }{(2n+2)! } {x}^{ 2n+2}$ para algún $c\in (0,x)$