1r ciclo Preguntita acerca de las derivadas parciales

[skinner]

Buenas tardes, tengo una preguntita que me surgió tras intentar deducir la ecuación de Gibbs-Duhem (termodinámica). El problema es que mi base matemática tambalea. Ahí va:

Supongan una función (que yo llamaré $\dst Y_{m}$, un nombre como cualquier otro) de 3 variables (Temperatura, Presión, y cantidad de materia):

$$\dst Y_{m}(T,p,n_{c})$$

Como tal, yo puedo calcular sus derivadas parciales respecto a cada una de las variables.

Mi pregunta es la siguiente: me piden derivar respecto a todas sus variables independientes, y los apuntes aseguran que:

$$\dst dY_{m}(T,p,n_{c})=\left( \frac{\partial Y_{m}(T,p,n_{c})}{\partial T} \right) \cdot dT+\left( \frac{\partial Y_{m}(T,p,n_{c})}{\partial p} \right) \cdot dp + \left( \frac{\partial Y_{m}(T,p,n_{c})}{\partial x_{c}} \right) \cdot dx_{c}$$

Sin embargo yo no sé llegar a esta expresión. Sé que hay que usar la regla de la cadena pero no sé de qué forma, ni como lo ha hecho para derivar respecto a todas sus variables... ¿existe "la derivada de una función de varias variables" como conjunto?

Pido ayuda

Muchas gracias, sin duda la mejor ayuda que podría recibir

Un saludo!

[Mister Kroket]

Re: Preguntita acerca de las derivadas parciales

Esa es la definición de diferencial total de una función mira esto, http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_total

[skinner]

Re: Preguntita acerca de las derivadas parciales

Muchas gracias! Otra pregunta: ¿para qué se utiliza la diferencial total de una función, si ya tenemos las derivadas parciales? ¿Con qué objetivo fueron definidas?

Un saludo

[Mister Kroket]

Re: Preguntita acerca de las derivadas parciales

se supone que con la derivada parcial estas viendo el cambio de una función respecto a una variable únicamente , pero con la diferencial total tienes el cambio de la función respecto a las >2 variables que tengas

[skinner]

Re: Preguntita acerca de las derivadas parciales

Gracias

[Caifan]

Re: Preguntita acerca de las derivadas parciales

Si la tercer variable independiente es la cantidad de materia, ¿porque la ultima derivada parcial (y su correspondiente diferencial) estan expresados en función de la composición y no la cantidad total de materia ($x$ en vez de $n$)?

[skinner]

Re: Preguntita acerca de las derivadas parciales

Hola Caifan,

esto ocurre porque la función que hemos definido, $\dst Y_{m}(T,p,n_{c})$, es una función homogénea de grado 0 en el sentido de Euler, es decir:

$\dst Y_{m}(T,p,\lambda \cdot n_{c})={\lambda}^{0}\cdot Y_{m}(T,p,n_{c})=1\cdot Y_{m}(T,p,n_{c})=Y_{m}(T,p,n_{c})$

o resumiendo,

$$\boxed{Y_{m}(T,p,\lambda \cdot n_{c})=Y_{m}(T,p,n_{c})}$$

Por tanto, si $\dst \lambda=\frac{x_{c}}{n_{c}}$ entonces:

$$\boxed{\boxed{Y_{m}(T,p,n_{c})=Y_{m}(T,p,x_{c})}}$$

En otras palabras, la magnitud $Y_{m}$ no depende de la cantidad de materia, por lo que se dice que es una magnitud intensiva

Espero que haya ayudado

Un saludo!

[Caifan]

Re: Preguntita acerca de las derivadas parciales

Excelente respuesta. Intentare retroalimentarla en los siguientes días.

Saludos

[skinner]

Re: Preguntita acerca de las derivadas parciales

Por supuesto, cualquier duda no dudes en consultar

Saludos!