1r ciclo Ecuacion diferencial (I)

[skinner]

Buenas, cuánto tiempo! Necesito una ayudita de vuestra parte como de costumbre.

Tengo la siguiente EDO:

$$xy''-2y'+9x^{5}y=18x^{5}\cos{x^{3}}+9x^{8}$$

Se trata de una ED Ordinaria, Lineal, de coeficientes variables. Para resolverla, me sugieren que realice el cambio $t=x^3$

Inicialmente mi variable independiente era la x; ahora, mi nueva variable independiente, ¿sigue siendo la x? ¿o es la t?. Porque la relación $t=x^3$ puedo invertirla, escribiendo: $x=t^{1/3}$

Sea como fuere, si mi función $y=y(x)$ era variable con x, ahora ¿qué relación debo escribir? ¿y=y( t(x) )? ó ¿y=y( x(t) )?

Lo digo porque al derivar aplicando la Regla de la Cadena para poder obtener $y''$, $y'$ , es diferente el resultado según sea mi Variable Independiente:

$$y=y( x(t) )\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d}t } =\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d}x } \frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d}t }$$

$$y=y( t(x) )\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d}x } =\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d}t } \frac{\mathrm{d}t }{\mathrm{d}x }$$

Entonces no sé cómo continuar.....

El profesor, en la resolución del ejercicio, usó la segunda opción, con y=y(t(x)). ¿¿No era y=y(x)??

Espero una ayudita, muchas gracias a todos por vuestro tiempo.

Buenas noches

[Al2000]

Re: Ecuacion diferencial (I)

Tu variable independiente ahora es $t$ pero te interesa calcular la derivada como en la ecuación (3), es decir $\dst \frac {dy}{dx} = \frac {dy}{dt} \frac {dt}{dx} = 3 x^2 \frac {dy}{dt} = 3 t^{2/3} \frac {dy}{dt}$. Algo similar tendrás que hacer con la derivada segunda, $\dst \frac {d^2 y}{dx^2} = \frac d {dx} \left(\frac {dy}{dx}\right) = \frac d {dt} \left(\frac {dy}{dx}\right) \frac {dt}{dx} = 6 t^{1/3} \frac {dy}{dt} + 9 t^{4/3} \frac {d^2 y}{dt^2}$

Saludos,

Al

PD. Verifica las cuentas, no haya yo metido la pata en algún lugar.

[skinner]

Re: Ecuacion diferencial (I)

Hola Al2000 antes que nada mil gracias por tu respuesta.

Mi pregunta sería si, efectivamente, puedo aplicar (indiferentemente) la regla de la cadena como (2) o como (3) de mi anterior post. El inconveniente de aplicar (2) sería que luego tengo que despejar dy/dx, pero... ¿es indiferente dónde aplique la Regla de la Cadena?

Porque si la t es mi var. indep., lo correcto sería usar la (2) en lugar de la (3), ya que la (3) supone que la var. indep. es la x.

Un saludo!

[skinner]

Re: Ecuacion diferencial (I)

¿Alguien me ayuda con lo último que escribí?

Es decir, ¿puedo hacer la regla de la cadena tomando como var. independiente la que más me interese?

Es decir, ¿puedo usar indistintamente la fórmula (2) y la (3)? En caso negativo, ¿por qué mi amigo Al usó la fórmula (3) si la variable independiente es la "t"? ¿No se debería usar la (2)?

Mil gracias,

buen día!

[kyubirr]

Re: Ecuacion diferencial (I)

puedes usar las 2
de hecho son la misma pero con distinta notacion
primero tienes una funcion y(x) pero a la x puedes llamarla t y tener y(t)
lo unico q tienes q tener cuidado es con quien es funcion de quien... si tienes t(x) significa que tienes t=t(x)=x^3
y si tienes x(t) significa que tienes x=x(t)=t^(1/3)

como en tu problema tienes y(x) y quieres pasar a tener y(t) lo que tienes que usar es t=x^3 y sustituir las x por t^(1/3) y las derivadas y has visto como se hace el cambio xD

[skinner]

Re: Ecuacion diferencial (I)

Gracias, ahora me ha quedado un poquito más claro.

Un saludo y buenas noches