1r ciclo Duda con limite indeterminado

[Julián]

Cuando tengo un limite indeterminado, de una funcion racional fraccionaria en donde en denominador y numerador tengo radicales, para salvar dicha indeterminacion multiplico por el conjugado de uno de ellos. ¿Qué es mas conveniente en general, el conjugado del numerador o del denominador?

ejem:
$\frac{x - \sqrt{x+2} }{\sqrt{4x+1} - 3 }$

En la mayoria de los casos ¿es mejor multiplicar dicha expresion por el conjugado del denominador?

[Cat_in_a_box]

Re: Duda con limite indeterminado

Hola

Pues la verdad es que en este caso no te hace multiplicar por ningún conjugado, a menos que quieras convertir un límite sencillito en algo horrible. Fíjate, para calcular el límite de cocientes de polinomios o raíces, como es este caso, basta comparar los términos de la máxima potencia del numerar y denominador. Aquí, a ojo, este límite tiende descaradamente a infinito, fíjate en el numerador y en el denominador. Arriba tienes una x y abajo un raíz, vamos, que esto tiende a infinito. Si quieres formalizar o justificarlo puedes dividir entre la raíz de x:

$$\dst\lim_{x\to \infty} \dst\frac{x - \sqrt{x+2} }{\sqrt{4x+1} - 3 }=\dst\lim_ {x\to\infty}\dst\frac{\sqrt{x}-\sqrt{1+\dst\frac{2}{x}}}{\sqrt{4+\dst\frac{1}{x}}-\dst\frac{3}{\sqrt{x}}}=\dst\frac{\infty-\sqrt{1-0}}{\sqrt{4+0}-0}=\infty$$

Recuerda que el último paso es sólo notación, ya que infinito no es ningún número. Aquí van implícitos ciertos pasos que se deducen del trabajo con los epsilon y la definición formal de límite. Pero bueno, esto no nos interesa en este caso, seamos pragmáticos.

Lo de racionalizar, es más típico de límites de esta clase:

$$\dst\lim_{x\to \infty} \sqrt{x}-\sqrt{x-1}$$

Es decir, en límites en los que ''los infinitos son del mismo orden'' (con muchas comillas pues en estos casos no te sirve de nada sacar factor común o dividir entre algo. En concreto, para la resolución del límite que te he puesto, tendrías que hacer lo que dices:

$$\dst\lim_{x\to \infty} \sqrt{x}-\sqrt{x-1}=\dst\lim_{x\to\infty}\dst\frac{\left[\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\right]\left[\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right]}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=\dst\lim_{x\to\infty}\dst\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=0$$

En otros casos, si tienes un cociente en el que aparece una sóla raíz, sí que es bastante útil multiplicar por el conjugado. La mayoría de las veces, cada límite requiere una resolución personalizada

Saludos,

[carmelo]

Re: Duda con limite indeterminado

Hola:

Supongo que te refieres en tu ejemplo en una indeterminación del tipo $\frac{0}{0 }$, esto ocurre cuando $x \to 2$. En este caso debes de multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del numerador y del denominador, o aplicar otros metodos para levantar la indeterminación.

Saludos
Carmelo

[Julián]

Re: Duda con limite indeterminado

Claro carmelo me habia olvidado de postiar el valor al que tiende la x (creia que ya estaba claro al exponer lo de racionalizacion) y efectivamente es a 2. Pero yo tenia entendido que devía multiplicar por el conjugado de uno de ellos no por el de los dos. yo he probado multiplicar la fracción por el conjugado de ambos pero no he podido salvar el limite.

Entonces la expresion sería:

$\frac{x - \sqrt{x+2} }{\sqrt{4x+1} - 3 } * \frac{x + \sqrt{x+2} }{x + \sqrt{x + 2} } * \frac{\sqrt{4x+1} +3 }{\sqrt{4x + 1} + 3 }$

igualmente no puedo llegar a salvar la indeterminación.

Lo he podido levantar la indeterminacion por l'hospital, pero quiero saber como hacerlo por ese método algebraico.

[carmelo]

Re: Duda con limite indeterminado

Hola:

Veamos, los pasos que deberías seguir:

$\dst\frac{x-\sqrt{x+2}}{\sqrt{4x+1}-3}=\dst\frac{(x-\sqrt{x+2})(x+\sqrt{x+2})(\sqrt{4x+1}+3)}{(\sqrt{4x+1}-3)(\sqrt{4x+1}+3)(x+\sqrt{x+2})}=\dst\frac{(x^2-x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{(4x-8)(x+\sqrt{x+2})}=$

$=\dst\frac{(x+1)(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x-2)(x+\sqrt{x+2})}$

Ahora tomas el límite cuando $x\to 2$ y podras levantar la indeterminación cancelando el factor común $(x-2)$. Te debería de dar $\dst\frac 98$

Otra opción es aplicar L´Hopital

Saludos
Carmelo