1r ciclo Series de fourier en senos y cosenos

[Amu]

Buenas tardes, ante todo.
Quería que me aclarasen una duda que tengo sobre las series de Fourier.
Sabiendo cuando la función de la que queremos determinar la serie es par o impar, pudiendo así determinar más facilmente los coeficientes de la serie. Es decir:

$f\left( x \right) \approx {\alpha }_{0 } + \sum_{n = 1}^\infty {\alpha }_{ n} \cos (\frac{n\pi x}{L }) + {\beta }_{n } \sin (\frac{n\pi x}{L })$

Sabiendo que $f\left(x \right)$ es impar, sabemos automáticamente que ${\alpha }_{0 }, {\alpha }_{n }$ son idénticamente 0.

Mi duda es si me piden que calcule la serie de Fourier en SENOS de una función PAR. Es posible escribirla en senos? Teóricamente su coeficiente sería 0, no?

Gracias por leer.

[[Beto]]

Re: Series de fourier en senos y cosenos

No se puede, la idea es la siguiente: una base formada por senos que es una función impar no puede generar una función par, ninguna combinación lineal de funciones impares generará una función par, salvo cuando todos los coeficientes son ceros pero en este caso la solución no convergerá a la función buscada ...

[Amu]

Re: Series de fourier en senos y cosenos

Muchas gracias por tu respuesta. Si así no es posible, ¿sería factible transformar de alguna forma la función par en otra equivalente e impar?

[[Beto]]

Re: Series de fourier en senos y cosenos

Muchas gracias por tu respuesta. Si así no es posible, ¿sería factible transformar de alguna forma la función par en otra equivalente e impar?

En general no puedes transformar a una función par a una impar, salvo algunos casos con alguna traslación de ejes aunque no le veo utilidad práctica ...

Otra cosa más que debes de tener en cuenta es que a un intervalo cualquiera de una función centrado en el origen se la expande usando la serie de fourier completa, los casos de impar y par solamente se usan cuando conoces la forma dela función a un lado del eje Y y no al otro, es por eso que se expande de cualquiera de las dos formas ya que tu supones a la función par o impar y con ambas funciona.