1r ciclo límite multivariable

[rupiopan]

Como resolvería este límite?

$\lim_{x,y \to \ 0,0} \frac{{x}^{ 2}+{y}^{2 } }{ \sqrt{{x}^{ 2}+{y}^{2 }+1} -1}$

y este?

$\lim_{x,y \to \ 1,1} \frac{xy-x-y+1}{{x}^{ 2}+{y}^{2 }-2x-2y+2 }$

los he intentado y me salen que no existe pero con expresiones un tanto complicadas. Si alguien pudiera explicarme como llegar a una expresión correcta se lo agradecería.

Saludos y gracias

[dvc]

Re: límite multivariable

Hola, para hacer el primer límite puedes pasar a coordenadas polares, es decir:
$x=rcos(\theta)$
$y=rsin(\theta)$
Y hacer el límite cuando r tiende a 0. Te quedará el límite con una sola variable.
Para el segundo límite, puedes hacer el siguiente cambio de variable:
$x'=x-1$
$y'=y-1$
Poniéndo el límite en función de x' e y' en la expresión te quedará el límite cuando x' e y' tienden a 0.
Entonces, puedes pasar de nuevo a coordenadas polares y hacer el límite cuando r tiende a 0. Si ves que al final el límite depende de $\theta$ es que no existe el límite.

Otra forma de hacer estos límites sería usar directamente la definición.

Feliz año!

[rupiopan]

Re: límite multivariable

Gracias, más o menos lo que pensaba. Muy bueno el cambio de variable en el 2º problema.

Saludos!