2o ciclo Derivar serie de Laurent

[rruisan]

Buenas noches! Si alguien me pudiera explicar como se deriva esta serie se lo agradecería. Gracias de antemano!

$\frac{d}{dz}\left[(z-a)^nf(z)=a_{-n }+a_{-n+1}(z-a)+...+a_{-1}(z-a)^{n-1}\right.$$\left.+a_0(z-a)^n+a_1(z-a)^{n+1}+a_2(z-a)^{n+2}+...\right]$

[neometalero]

Re: Derivar serie de Laurent

Usando las reglas usuales de la derivacion de una funcion que es una potencia o un binomio si quieres, teniendo en cuenta que es ademas un producto.

[rruisan]

Re: Derivar serie de Laurent

Gracias por contestar neometalero, aun no entiendo, por los sub-indices de la parte derecha de la igualdad, si fueras tan amable me puedes explicar para los primeros dos términos de la parte derecha como se deriva. Gracias de antemano!

[polonio]

Re: Derivar serie de Laurent

¿Están bien puestos los corchetes...? ¿La derivada no será de un solo término de la igualdad?

[neometalero]

Re: Derivar serie de Laurent

Claro, yo creo que la parte derecha es el desarrollo de la serie. Hay que derivar la parte izquierda, al menos asi lo he hecho yo en la carrera y es una derivada básica.

[rruisan]

Re: Derivar serie de Laurent

Hola Polonio! lo que hay que derivar es la parte derecha de la igualdad! viendo en un apunte que esta echo queda de esta forma:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $+a_0n(z-a)^{n-1}+a_1(n+1)(z-a)^{n}+...$


Entiendo como se deriva los últimos términos de la igualdad los que no me quedan muy claro es como obtengo los primeros dos términos. Gracias de antemano!

[neometalero]

Re: Derivar serie de Laurent

Debo ser invisible tu...

[rruisan]

Re: Derivar serie de Laurent

¡Disculpa neometalero! si entendi lo que me explicas pero la duda que tengo es lo que pregunto en lo anterior. Gracias por las sugerencias.

[polonio]

Re: Derivar serie de Laurent

Pues parece que no entiendes lo que dice neometalero Además, te faltan ciertas condiciones importantes que debe citar el enunciado para el resultado de la derivada sea el que dices.

Se supone que con la notación que usas

$$\dst f(z)=\sum_{k = -\infty}^\infty a_k (z-a)^k$$

Esto es válido en un disco perforado alrededor de la singularidad $z=a$ que no incluya otra singularidad.

Ahora, si la singularidad es un polo de orden $n$:

$$\dst f(z)=\sum_{k = -n}^\infty a_k (z-a)^k$$

Hacemos el producto

$$\dst (z-a)^nf(z)=\sum_{k = -n}^\infty a_k (z-a)^{k+n}$$

Derivando nos queda:

$$\boxed {\dst \frac{\dd}{\dd z} [(z-a)^nf(z)] = \sum_{k = -n}^\infty a_k (n+k)(z-a)^{k+n-1}}$$

Que es lo que te piden (salvo un error que cometes en el segundo término: te falta multiplicar por dos).

[rruisan]

Re: Derivar serie de Laurent

Entendía a neometalero con lo que me explicaba de usar reglas usuales de derivación, lo que no sabia es como hacerlo para el caso cuando hay sub-indices, para este tipo de problemas. Ya me ha quedado bastante claro, agradezco la ayuda de los dos.