1r ciclo Continuidad y Convergencia Uniforme

[Acomatico]

Tengo un ligero problema para entender el concepto matematico de la continuidad uniforme y de la convergencia uniforme. Se que vienen significando, pero no soy capaz de verlo en la formula de forma clara.

Continuidad uniforme:

Sea f : (S, ds) −→ (T, dt). Se dice que f es uniformemente continua en un subconjunto
A ⊂ S si se verifica la siguiente condici´on: para cada ǫ > 0 existe un δ > 0 (que depende exclusivamente
de ǫ) tal que si x ∈ A y p ∈ A entonces dt(f(x), f(p)) < ǫ siempre que ds(x, p) < δ.
copypaste de mis apuntes

Convergencia uniforme

en mis apuntes esta mal puesto, asi que lo cogi de la wikipedia

Gracias

[beliytxuri]

Re: Continuidad y Convergencia Uniforme

Para visualizar la convergencia uniforme, imáginate una "banda" de amplitud 2$\varepsilon$, alrededror de la gráfica de la función límite f. Pues bien, desde un N en adelante, todas y cada una de las funciones de la sucesión tienen que estar contenidas completamente en esa "banda". Entonces, la convergencia es uniforme.

La continuidad uniforme es un concepto que quiere globalizar el concepto de continuidad en un punto. Piensa en f(x) = 1/x, por ejemplo, que es una función continua en (0, $\infty$). Fijado un $\varepsilon$>0 determinado, el $\delta$>0 que verifica la condición de la definición de continuidad en un punto, es muy distinto para los puntos próximos a 0 que para los puntos muy alejados.
No es uniformemente continua. No hay un ÚNICO $\delta$, que, una vez fijado $\varepsilon$, valga para todos y cada uno de los puntos de (0, $\infty$).

Claro que, como nos gusta mucho la conservación de las propiedades (si las ${f}_{n }$ son continuas, pues su límite también, ¡faltaría más!), tenemos que pagar el fielato de ampliar nuestros conceptos de convergencia y continuidad para que se produzca el resultado.

Un saludo.