1r ciclo series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

[rupiopan]

Tengo la siguiente serie de potencias y me gustaría calcular su expresión explícita de f(x)

por si sirve de ayuda en el enunciado pertenece a la sección "derivación de series de potencias"

$f\left( x \right)=\sum_{n = 0}^\infty \frac{(2n+1){x}^{2n } }{ n!}$

y lo mismo pero en la sección "integración de series de potencias"


$f\left( x \right)=\sum_{n = 2}^\infty \frac{(n+1){x}^{n } }{ n{3}^{ n} }$


He estado buscado en la red y en una parecida que he encontrado, derivando llegan a una serie geométrica pero este problema no lo consigo.

Saludos y gracias

[Umbopa]

Re: series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

Mira : Coges la serie y la integras. integral[f(x)]= Suma [ x^2n+1 /n! ] = x*Suma[x^2n /n!]
Y si te fijas esto es claramente x*e^(x^2) por lo tanto ya solo queda derivar esta función ...

El segundo es un poco más complicado.

f(x)=Suma [(n+1)x^n / (n*3^n)

integral(f(x)dx)= Suma [ x^n+1 / (n*3^n) ] esta suma empieza de n=2 así que si cambiamos el

indice podemos hacer que empiece de cero

integral(f(x)dx)=Suma [ x^(n+3) / (n+2) 3^(n+2) ] sacamos una x
integral(f(x)dx)=x*Suma [ x^(n+2) / (n+2) 3^(n+2) ]
integral(f(x)dx)=x *g(x)

g(x)=Suma [ x^(n+2) / (n+2) 3^(n+2) ] = Suma [ (x/3)^(n+2) / (n+2) ]
Derivemos g(x)
g'(x)=1/3 Suma [ (x/3)^n+1] = x/9 Suma [ (x/3)^n] serie geometrica
g'(x) = (x/9)/(1-x/3)

ahora integra g'(x) y encuentras g(x) , después deriva x*g(x) y sacas f(x)

f(x)=-2x/3 -ln(abs(3-x))+x/(3-x)+ln(3)

Espero haber sido de ayuda xd

[rupiopan]

Re: series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

Como eres tan crack? Saludos!

[neometalero]

Re: series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

Perdonad de antemano mi ignorancia pero...
La expresión que tu nos das no es ya la forma explícita?
Si integras y derivas luego no te queda lo mismo que tenías???
Saludos

[Umbopa]

Re: series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

Perdonad de antemano mi ignorancia pero...
La expresión que tu nos das no es ya la forma explícita?
Si integras y derivas luego no te queda lo mismo que tenías???
Saludos

No , no te queda lo mismo porque no integras y derivas lo mismo....
El se refiere o como mínimo eso creí yo , a pasar de la forma en serie de potencias a una expresión para la función de forma conocida.

[polonio]

Re: series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

Vamos, lo que pide es la función suma... que tan bien ha calculado Atrode.

[rupiopan]

Re: series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

Por supuesto, Atrode lo ha clavado.

[polonio]

Re: series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

Por cierto, el resultado sólo es correcto en el intervalo de convergencia, en este caso: $x \in (-1,1)$. Fuera de ese intervalo la suma diverge (es infinita) y no es igual a ninguna función suma.

Por cierto, Atrode, si usas $\LaTeX$ para tus mensajes todos nos beneficiaremos, pues cuesta muchísimo entender lo que escribes: lee este hilo, por favor, y verás qué fácil es

[dany_nash]

Re: series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

Hola, para la primera se me ocurre una forma, pero no me convence mucho, la expongo a continuacion :

tenemos que $\displaystyle x\cdot e^{x^2}=\sum_0^\infty \frac{x^{2n+1}}{n!}$
derivando respecto a x, se obtiene :

$\displaystyle (x\cdot e^{x^2})'=\sum_{n=0}^\infty (2n+1)\frac{x^{2n}}{n!}$


$\displaystyle ( e^{x^2}+2x^2\cdot e^{x^2})=\sum_{n=0}^\infty (2n+1)\frac{x^{2n}}{n!}$

$\displaystyle e^{x^2}(1+2x^2)=\sum_{n=0}^\infty (2n+1)\frac{x^{2n}}{n!}$

no me gusta mucho el $e^{x^2}$, pero bueno, esa es la soluacion mas rapida que me sale hasta ahora.

la segunda, la pensare un poco mas que ahora estoy algo atareado con otras cosas :P

[Umbopa]

Re: series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

Gracias polonio , es que soy nuevo y voy un poco perdido...

[polonio]

Re: series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

Gracias polonio , es que soy nuevo y voy un poco perdido...

Tranquilo... tiempo al tiempo. Ya verás como se aprende rápido a introducir expresiones en $\LaTeX$.

Gracias a ti por participar y ayudar.

[beliytxuri]

Re: series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

Otra forma para la segunda serie:
(Prefiero en manuscrito que es más rápido que el LÁTEX)

[polonio]

Re: series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

Otra forma para la segunda serie:
(Prefiero en manuscrito que es más rápido que el LÁTEX)

Se agradece el aporte, pero con $\LaTeX$ se entiende mejor y se gastan muchos menos recuersos de la web (los gráficos son más pesados y lentos de cargar, no son editables,...)

De todas formas, se agradece de nuevo tu esfuerzo.

[beliytxuri]

Re: series de potencias, calcular la expresión explícita de f(x)

Tendré en cuenta lo del LÁTEX, pero como soy muy torpe con la mecanografía, si hay que insertar mucha simbología matemática, mi respuesta puede llegar cuando hayan cerrado Internet (o más tarde).
Pero gracias por tu puntualización.