1r ciclo Integrales de variable compleja "sin complejos"

[guibix]

Buenas gente

Intentando aplicar la Transformada de Fourier Inversa para encontrar la función de onda de un espectro (cosa que aún no domino). Siendo el espectro una función contínua de distribución, me topé con una relación que no sé si está implícita en los teoremas de Fourier, pero parece poder resolver algunas integrales definidas de menos infinito a infinito sin tener que pasar por la variable compleja.

Las condiciones para poder aplicar el "truco" son las siguientes:

La función tiene que ser el producto de una función parametrizada $f(\frac{\omega-b}{a})$ por un $sin(\omega t)$ o $cos(\omega t)$, con

$\{a,b\}\in R,a\neq 0$

Para que $a$ sea independiente del área bajo la curva de $f(\frac \omega a)$, tenemos que dividir la función por $a$ tal y que

$\frac 1 a f(\frac{\omega-b}{a})$

La integral definida de menos infinito a infinito de $\frac{1}{a}f(\frac{\omega}{a})$ tiene que ser un número real diferente de cero, este número lo llamaremos $k$ y nos sirve para normalizar el área bajo la curva igualándola a 1

$k=\frac 1 a \int_{-\infty}^\infty f(\frac \omega a)d\omega,$

$1=\frac{1}{ak}\int_{-\infty}^\infty f(\frac \omega a)d\omega.$


$f(\frac{\omega-b}{a})$ tiene que ser simétrica en el punto $b$ y con su máximo absoluto también en $b$, es decir:

$\forall c\in R\neq 0,\, f(\omega-b+c)=f(\omega-b-c)<f(\omega-b).$

Si se cumplen estas condiciones, entonces para toda $f(\omega)$ existe una función $g(t)$ tal y que:

$$\begin{aligned}<br /> \frac{1}{ak}\int_{-\infty}^\infty f\left (\frac {\omega-b} a\right )\, Sin (\omega t)d\omega&=g(jat)\, Sin (bt),\\<br /> \frac{1}{ak}\int_{-\infty}^\infty f\left (\frac {\omega-b} a\right )\, Cos (\omega t)d\omega&=g(jat)\, Cos (bt)<br /> \end{aligned}$$

la constante $j$ depende de de cuál sea la función $f(\omega)$, $j=F(f(\omega))\in R\neq 0$, que de momento, sólo la sé deducir empíricamente. $g(t)$ cumple también con:

$\int_{-\infty}^\infty g(t)dt\in R\neq 0$

$\forall t\neq 0, g(t)=g(-t)<g(0)$

También "queda bonito" expresarlo con $ak$ multiplicando al resultado

$$\begin{aligned}<br /> \int_{-\infty}^\infty f\left (\frac {\omega-b} a\right )\, Sin (\omega t)d\omega&=ak\, g(jat)\, Sin (bt),\\<br /> \int_{-\infty}^\infty f\left (\frac {\omega-b} a\right )\, Cos (\omega t)d\omega&=ak\, g(jat)\, Cos (bt)<br /> \end{aligned}$$

He podido verificar cuatro funciones para $f(\omega)$ que cumplen, aunqué alguna también se puede resolver con métodos más simples:

Para $f(\omega)=Exp\left(-\frac{(\omega-b)^2}{a^2}\right)$ (función gaussiana):

$$\begin{aligned}<br /> \int_{-\infty}^\infty Exp\left(-\frac{(\omega-b)^2}{a^2}\right) Sin(\omega t)d\omega&=a\sqrt{\pi}Exp\left(-\frac 1 4 a^2t^2\right)Sin(bt)\\<br /> \int_{-\infty}^\infty Exp\left(-\frac{(\omega-b)^2}{a^2}\right) Cos(\omega t)d\omega&=a\sqrt{\pi}Exp\left(-\frac 1 4 a^2t^2\right)Cos(bt)<br /> \end{aligned}$$

Con $k=\sqrt{\pi}$ y $j=\frac 1 4$


Para $f(\omega)=Sech\left (\frac{\omega-b}{a}\right )$ (Función Secante hiperbólica):

$$\begin{aligned}<br /> \int_{-\infty}^\infty Sech\left (\frac{\omega-b}{a}\right )Sin(\omega t)d\omega&=a\pi Sech\left ({\frac \pi 2 at}\right )Sin(bt)\\<br /> \int_{-\infty}^\infty Sech\left (\frac{\omega-b}{a}\right )Cos(\omega t)d\omega&=a\pi Sech\left ({\frac \pi 2 at}\right )Cos(bt)<br /> \end{aligned}$$

Con $k=\pi$ y $j=\frac \pi 2$


Para $f(\omega)=\frac{1}{1+\left(\frac{\omega-b}{a}\right)^2}$: (Función de distribución "tipo" Cauchy-Lorentz)

$$\begin{aligned}<br /> \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+(\frac{\omega-b}{a})^2}\,Sin(\omega t)d\omega&=a\pi Exp\,(-|at|)\, Sin(bt)\\<br /> \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+(\frac{\omega-b}{a})^2}\,Cos(\omega t)d\omega&=a\pi Exp\,(-|at|)\, Cos(bt)<br /> \end{aligned}$$

Con $k=\pi$ y $j=1$


Para $f(\omega)=Exp\left(-\frac{|\omega-b|}{|a|}\right)$: (Función exponencial del valor absoluto negativo):

$$\begin{aligned}<br /> \int_{-\infty}^\infty Exp\left(-\frac{|\omega-b|}{|a|}\right)\, Sin(\omega t)d\omega&=\frac{2a}{1+(at)^2}\, Sin(bt)\\<br /> \int_{-\infty}^\infty Exp\left(-\frac{|\omega-b|}{|a|}\right)\, Cos(\omega t)d\omega&=\frac{2a}{1+(at)^2}\, Cos(bt)<br /> \end{aligned}$$

Con $k=2$ y $j=1$

Es curioso ver que las dos primeras $f(\omega)$ tienen el mismo tipo de función para $g(t)$, claro que las dos son funciones exponenciales "parecidas". En cambio, las dos últimas, de la función Cauchi-Lorenz para $f(\omega)$ resulta la exponencial de valor absoluto negativo para $g(t)$ y viceversa.

Lo he probado también con variedades de $f(\omega)=Exp(-|\omega|^n)$ con $n>2$ y en los casos de $n=3$ y $n=4$ parece que la función $g(t)$ adopta lo que parece una variedad de $sinc(t)=sin(t)/t$, aún no logro aproximarla, pero me parece que hay otra función exponencial o parecida "interfiriendo"

Mis dudas son:

¿Siempre cumple con estas condiciones? ¿De no ser así, se pueden añadir más condiciones para que sí cumpla siempre?

¿Se podría encontrar una generalización para deducir $g(t)$ y $j$ y de que manera?

¿Esta relación se explica con los teoremas de Fourier o realmente podría servir de "truco" para evitar la variable compleja?

¿O el "truco" se da en muy pocos casos y se reduce a tener una pequeña "chuleta" que, si se da el caso, la puedo usar?

¿O es que todo esto es un "fantasma" que yo veo debido a mi bajo conocimiento y estoy diciendo tonterías?

Gracias por atender y perdón si os he hecho perder el tiempo inútilmente.

Saludos.

[guibix]

Re: Integrales de variable compleja &quot;sin complejos&quot;

¿Alguien le hinca el diente?

Es que es una duda que llevo 1 año sin saber si esto es algo útil, inútil, verdadero o falso.

[carroza]

Re: Integrales de variable compleja &quot;sin complejos&quot;

Hola.

Tu resultado (1) resulta trivial si usas la transformada de Fourier compleja y luego te quedas con la parte real y la imaginaria de la expresión

$\int_{-\infty}^\infty f(w-b) \exp(i w t) dw = \exp(i t b) \int_{-\infty}^\infty f(w) \exp(i w t) dw$

[guibix]

Re: Integrales de variable compleja &quot;sin complejos&quot;

Hola.

Tu resultado (1) resulta trivial si usas la transformada de Fourier compleja y luego te quedas con la parte real y la imaginaria de la expresión

$\int_{-\infty}^\infty f(w-b) \exp(i w t) dw = \exp(i t b) \int_{-\infty}^\infty f(w) \exp(i w t) dw$

Ya, pero resulta aún me queda una integral compleja con dos funciones que aún no se resolver.

De hecho todo esto surgió al no saber aplicar la formula.

Cuando intenté calcular el resultado de las expresiones 3,4,5 y 6 con Mathematica v.7 y después de los cálculos eternos del PC, me daba funciones de tres y cuatro líneas de exponenciales, funciones de error y cosas que no sabía ni que existieran. Pero pude comprobar numéricamente los resultados de mathematica con los escritos aquí y daban exactamente lo mismo con hasta 15 dígitos significativos, lo que me hace pensar que es correcto y que permite resolverla analíticamente de forma directa y sin tener que recurrir a Fourier.

No es que dude de Fourier (faltaría más) y estoy segurísimo que tiene solución general, espero el día que domine mejor estos temas, pero mi inquietud es si eso funciona, si se puede generalizar para todas las funciones simétricas, y si puede existir algún método para hallar la $g(t)$ y la $j$.

Digamos que "postulo" que:

Para toda función $f(\omega-b)exp(i\omega t )$ de espectro simétrico en $\omega=b$, con un máximo absoluto en $\omega=b$ y en fase en $t=0$, existe otra función $g(t)$, simétrica en $t=0$, multiplicada por $exp(i b t)$ que resulta ser la función de onda asociada al espectro. Como ya lo he descrito en mi primer post, pero ya me gusta lo del $exp(it)$ para definir el seno y el coseno al mismo tiempo. Aún así el razonamiento es el mismo.

Y lo que pido es la confirmación, negación y/o ampliación de este postulado.

Gracias y saludos.

[carroza]

Re: Integrales de variable compleja &quot;sin complejos&quot;

Hola.

Si f(w) es simétrica en torno a w=0, entonces es obvio que

$g(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(w) \exp(iwt) dw = \int_{-\infty}^{\infty} f(w) \cos(wt) dw$

es real y simétrica en torno a t=0.

[guibix]

Re: Integrales de variable compleja &quot;sin complejos&quot;

Ok, gracias de nuevo carroza.

He podido constatar que puedo plantear las mismas igualdades con exponenciales complejas y queda así:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\int_{-\infty}^\infty Exp\left(-\frac{(\omega-b)^2}{a^2}\right) Exp(i \omega t)d\omega=a\sqrt{\pi}Exp\left(-\frac 1 4 a^2t^2\right)Exp(ibt)$$

$$\int_{-\infty}^\infty Sech\left (\frac{\omega-b}{a}\right )Exp(i \omega t)d\omega=a\pi Sech\left ({\frac \pi 2 at}\right )Exp(ibt)$$

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+(\frac{\omega-b}{a})^2}\,Exp(i\omega t)d\omega=a\pi Exp\,(-|at|)\, Exp(ibt)$$

$$\int_{-\infty}^\infty Exp\left(-\frac{|\omega-b|}{|a|}\right)\, Exp(i\omega t)d\omega=\frac{2a}{1+(at)^2}\, Exp(ibt)$$

Se podrían compactar los exponenciales, pero así se ve la relación general.

Pero bueno, aún me queda alguna duda:

¿Se pueden demostrar analíticamente esas igualdades?

¿Pueden ser numéricamente idénticas, pero analíticamente no iguales?

Lo digo porqué no he podido verificarlo y creo que es debido a que las soluciones tan largas e indescifrables que me da Mathematica "conservan" la información de $\omega$ en el plano complejo de $t$. Sé que la integral indefinida también conserva la información, pero entiendo que si hacemos la integral definida de $\omega$ tenemos que "cargarnos" su información de variable, dejando un solo punto en la solución analítica de la integral. ¿O no es así?

¿Es correcto o no usar este "truco" y porqué?

De ser correcto podría ahorrar el tener que buscar la integral indefinida y demás pasos hacia la solución.

Gracias de nuevo y saludos.

[guibix]

Re: Integrales de variable compleja &quot;sin complejos&quot;

Hola.

Si f(w) es simétrica en torno a w=0, entonces es obvio que

$g(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(w) \exp(iwt) dw = \int_{-\infty}^{\infty} f(w) \cos(wt) dw$

es real y simétrica en torno a t=0.

Leyendo detenidamente, me doy cuenta que eso no es lo que quería decir.

Dicho como lo has dicho tú, pero adaptado:

Si $f((w-b)/a)$ es simétrica y con máximo entorno a $w=b\Rightarrow f(b)>f(b-c)=f(b+c)\forall c\in R\neq 0$, entonces:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{w-b}{a}\right) \exp(iwt) dw=ag(at)\exp(ibt).$$

La expresión entera es compleja, pero g(t) es real, simétrico y con máximo en $t=0\Rightarrow g(0)>g(t)=g(-t)\forall t\neq 0$

Esto es lo que "postulo", además del resto, como la transformación del parámetro $a$ y el "desglose" de g(t) a $kg(jt)$ , con $k=\int_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac w a\right)dw\in R\neq 0$ y para la $j$ aún no he encontrado una forma de deducirla de manera general, pero tiene un mismo valor para cada tipo de función f(w) y es independiente del valor de los demás parámetros.

La expresión expandida sería:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{w-b}{a}\right) \exp(iwt) dw=ag(jat)\exp(ibt)\int_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac w a\right)dw.$$