1r ciclo Gradiente de la Divergencia.

[skinner]

Hola amigos, qué tal.

me gustaría que me ayudaran a desarrollar el Gradiente de la Divergencia: grad(div(u)), de donde u=(u1, u2, u3)

Y sobretodo, cómo podría escribirse en notación de índices de Einstein.

Mil gracias por su atención.

Un saludo y buenos días

[beliytxuri]

Re: Gradiente de la Divergencia.

Aplicando las definiciones de divergencia y gradiente:

$<br /> \frac{{\partial }^{2 } {u}_{ i} }{ \partial {x}_{j } \partial {x}_{ i} }.\vec{{e}_{ j} } <br />$

donde $\vec{{e}_{ j}}$ es vector de la base usual de ${R}^{ 3}$ y con el convenio de sumación de Einstein .

[skinner]

Re: Gradiente de la Divergencia.

Exactamente, esa es la solución. Pero al intentar aplicar las definiciones de Grad y de Div, no llego ni mucho menos a ese resultado.

¿Puedes ser más explícito?

[skinner]

Re: Gradiente de la Divergencia.

Por cierto, lo necesito para expresar las Ecuaciones en desplazamientos de Navier (Teoría de la Elasticidad) en su forma de teoría de campos.

Agradecería una ayudita para poder desarrollar grad(div(u)) (donde u es el vector Desplazamiento)

Un saludo

[beliytxuri]

Re: Gradiente de la Divergencia.

Bueno, pero no voy a usar el LATEX porque soy torpe y me cuesta un poco. He tardado casi 15 min en poner la expresión de la solución; así que, si te pongo el desarrollo, te licencias antes de que acabe...).

Utilizaré la notación Di para expresar la derivada parcial respecto de xi. (Di = $\frac{\partial }{\partial{x}_{ i} }$).

div u = D1u1 + D2u2 + D3u3. (Diui, según Einstein)

grad f = D1f.e1 + D2f.e2 + D3f.e3 (Djf.ej, según Einstein).

grad(div u) = grad(Diui) = DjDiui.ej.

Te supongo familiarizado con la notación de Einstein, el come-sumas.

Si no, desarrolla todas las sumas y verás que lo único que tienes que hacer es expresar el gradiente de la función f = D1u1 + D2u2 + D3u3 (que es la divergencia).

Un saludo.

[skinner]

Re: Gradiente de la Divergencia.

AJá, ahora si lo he entendido... Te explicas bastante bien

Un saludo y muchas gracias por tu tiempo

[Umbopa]

Re: Gradiente de la Divergencia.

Esto es el laplaciano de un vector que tiene forma conocida .

Grad(div(u))= delta ( u ) + Rot(Rot(u)) delta es el operador laplaciano.

Y el laplaciano de un vector es el laplaciano de cada componente por la base correspondiente.
Delta(u)=Delta(u1)*e1 + Delta(u2)*e2+Delta(u3)*e3

[polonio]

Re: Gradiente de la Divergencia.

Esto es el laplaciano de un vector que tiene forma conocida .

Grad(div(u))= delta ( u ) + Rot(Rot(u)) delta es el operador laplaciano.

Y el laplaciano de un vector es el laplaciano de cada componente por la base correspondiente.
Delta(u)=Delta(u1)*e1 + Delta(u2)*e2+Delta(u3)*e3

No, tú mismo lo estás poniendo: el gradiente de la divergencia de un campo escalar no es el laplaciano: es el laplaciano más el rotacional del rotacional.

$$\vec{\nabla}({\vec{\nabla}\cdot\vec{u}})=\nabla^2 {\vec{u}}+\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{u})$$

Por otra parte, el laplaciano de un vector no es el laplaciano de cada componente por por los vectores de la base correspondiente.

[Umbopa]

Re: Gradiente de la Divergencia.

Me acabó de para demostrar lo que he puesto ahí en el papel y te aseguro que esta bien .
Polonio no se si no me has leído bien o no lo has interpretado bien , ahora lo paso a limpio y lo escaneo.
Yo no escribo aquí por escribir eh , no porque me aburra . Mira la cara de mi avatar es la que tengo ahora xD

Cuando he escrito "y esto es el laplaciano" me refiero a que tiene relación con este por la fórmula que he escrito abajo ...
Y seguidamente he puesto que significaba el laplaciano de un vector
Y evidentemente e1 , e2 , e3 es en coordenadas cartesianas.

[polonio]

Re: Gradiente de la Divergencia.

Eso, sí. Efectivamente, no te he entendido bien por que te habías expresado bastante mal : cuando uno dice "esto es el laplaciano" es que lo que has escrito es el laplaciano, pero veo que ya lo has corregido y no hay contradición en lo que decías.

En fin, una vez aclarado esto no te enfades porque no se te entienda (ya sea porque no te han interpretado bien o porque te has expresado regular) o porque alguien no opine lo mismo que tú. De hecho, la discusión ha valido para que se aclare la cosa más y quien preguntaba y quien lo lea lo vea más claro.

[polonio]

Re: Gradiente de la Divergencia.

Me acabó de para demostrar lo que he puesto ahí en el papel y te aseguro que esta bien .

¿Ves como no hay quien te entienda...?

Anda, sé un poco más paciente escribiendo, que estás haciendo buenas aportaciones pero te aceleras mucho y te lías al expresarte

[Umbopa]

Re: Gradiente de la Divergencia.

Me acabo de para demostrar lo que he puesto ahí , en el papel, y te aseguro que esta bien . (faltan las comas xD)

Si puede ser que me expresé un poco mal con los de "base correspondiente" y lo de "esto es el laplaciano".
Pero aveces cuando algo se asimila mucho a otro simplemente digo que " esto es tal"...