Secundaria Limite de una sucesión

[Tinieblas]

Buenas: ¿me podéis orientar con este límite? Muchas gracias.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+2n-3} }{{\sqrt[3]{n^3+3n^2} } }$

[angel relativamente]

Re: Limite de una sucesión

Pues si aún no tienes mucha maña con los límites deberías empezar por el método intuitivo. ¿Qué le pasa a la expresión si a n le doy valores muy grandes?

Vamos a poner $n=10^5$

En tal caso:

$\dfrac{\sqrt{n^2+2n-3} }{{\sqrt[3]{n^3+3n^2} } }=0.99999999990003$

Si le dieses un valor mayor ( $n=10^{10}$ por ejemplo) el número de 9s tras la coma decimal aumentaría muchísimo (de hecho mi calculadora me redondea a 1, y suele dar más de 25 decimales). Todo parece indicar que conforme n va tomando valores más grandes (tiende a infinito), la expresión se acerca al 1. Luego:

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+2n-3} }{{\sqrt[3]{n^3+3n^2} } }=1$

Ahora bien, ese límite puede resolverse sin necesidad de sustituir.

Si yo tuviese:

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n^2+2n-3)$

Sería equivalente a tener:

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^2$

Pues, para valores de n infinitamente grandes, $n^2$ es infinitamente más grande que $2n-3$.

Del mismo modo, el siguiente límite:

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n^3+3n^2)$

Sería equivalente a:

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^3$

Por tanto, en nuestro ejercicio:

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+2n-3} }{{\sqrt[3]{n^3+3n^2} } }=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2} }{{\sqrt[3]{n^3} } }=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\;1=1$


Si te quedan dudas, pregunta

Saludos,

[xXminombreXx]

Re: Limite de una sucesión

A parte de la explicación de ángel, voy a dar otra parecida. En estos casos conviene fijarse en las x de mayor grado, en este caso estas son en el numerador $\sqrt{n^2}$ y en el denominador $\sqrt[3]{n^3}$, ambas son n, así que se ve que el límite es 1.

El método general en estos casos es dividir entre la n de mayor exponente, en este caso n, tanto al numerador como al denominador, para seguir teniendo la misma función.

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\sqrt{n^2+2n-3}}{n}}{\frac{{\sqrt[3]{n^3+3n^2}} }{n} }$$

Para meter la n en la raíz hay que elevarla al exponente mismo de la raíz, así que queda:

$$<br /> \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}}}{\sqrt[3]{1+\frac{3}{n}}}<br />$$

Todo lo que sea $\frac{a}{n^s}$ se va a 0 cuando n tiende a infinito para cualquier s>=1, así que queda 1.

[hennin]

Re: Limite de una sucesión

Siendo pulcro matemáticamente lo que ha hecho minombre está bien y lo que ha hecho ángel de despreciar los términos de menor grado está mal. Hay casos, en los que los términos de menor grado afectan y mucho. En este caso no.

[angel relativamente]

Re: Limite de una sucesión

Siendo pulcro matemáticamente lo que ha hecho minombre está bien y lo que ha hecho ángel de despreciar los términos de menor grado está mal. Hay casos, en los que los términos de menor grado afectan y mucho. En este caso no.

Tenía entendido que:

$\dst \lim_{x \to \infty}\; (a_1x^n+a_2x^{n-1}+a_3 x^{n-2}+ \cdots +a_{n-1}x^2+a_n x+a_{n+1})=\dst \lim_{x \to \infty}\; a_1x^n$

Para cualquier valor de $a_1,a_2,\cdots$

¿Esta regla es válida no? ¿Por qué al ser pulcro está mal? ¿En qué casos no funciona?

[beliytxuri]

Re: Limite de una sucesión

Ángel,

$<br /> \dst \lim_{x \to \infty}\; (a_1x^n+a_2x^{n-1}+a_3 x^{n-2}+ \cdots +a_{n-1}x^2+a_n x+a_{n+1})=\dst \lim_{x \to \infty}\; a_1x^n <br />$

es correcto siempre que ${a}_{1 } \neq 0$.

Todos estaremos de acuerdo en que en un polinomio y cuando $x\to \infty$, el monomio de mayor grado es el que "manda" y lo que ha hecho Ángel es correcto y tampoco creo que tenga un "defecto de pulcritud" importante. Además ha explicado intuitivamente el concepto de límite de una sucesión que siempre puede ayudar a alguien que esté empezando.

Sin embargo, Hennin también tiene razón cuando dice que los términos de menor grado pueden influir, pero lo que no aclara es que éso sólo puede suceder cuando $x\to {x}_{ 0}$. (Pensemos, por ejemplo, en las aproximaciones que se hacen de las funciones utilizando sus polinomios de Taylor en los entornos de cero).

Pero en este caso, en el que $x\to \infty$, el planteamiento de Ángel es correcto.

Otra puntualización para Minombre. Dices que:
"Todo lo que sea se va a 0 cuando n tiende a infinito para cualquier s>=1".

(Y para cualquier s>0 también es válido).

Saludos "sucesivos" a los tres.

[xXminombreXx]

Re: Limite de una sucesión

Es verdad, errata, cuando s>0. Gracias por aclararlo. También he llamado función a lo que es una sucesión. Esto de escribir rápido no es bueno.

[Tinieblas]

Re: Limite de una sucesión

Gracias por vuestras respuestas. Un saludo