1r ciclo Derivación Implícita de Funciones Compuestas

[jacinto]

Hola a todos, tengo una duda con el siguiente ejercicio de derivación implícita :

Hallar $y^{\prime}$:

$x=\sec^2{\frac{1}{y}}$

Ahora bien procedo a derivar implícitamente; del lado derecho hay una función compuesta por lo tanto aplico regla de la cadena:

$1=2\sec{\frac{1}{y}}*[sec{\frac{1}{y}}]^{\prime}$

mi pregunta ahora es la siguiente ¿debo aplicar de nuevo la regla de la cadena en $[sec{\frac{1}{y}}]^{\prime}$?

se que debe ser una pregunta tonta pero estoy confundido , gracias de antemano

[angel relativamente]

Re: Derivación Implícita de Funciones Compuestas

Hola de nuevo Jacinto, la verdad nunca he derivado en implícitas pero he buscado por internet y parece bastante sencillo. Evidentemente, si a ti te piden $y'$, tendrás que derivar hasta que te quede una expresión en la que aparezca $y'$, y después despejarla. En respuesta a tu pregunta, sí, deberías de aplicar de nuevo la regla de la cadena. No obstante, no has llegado bien al resultado anterior:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Sigue tú. Pero ojo, la regla de la cadena sigue (por algo el nombre de cadena) y aún tendrás que derivar $1/y$.

Si tienes más dudas avisa.

Saludos

[Umbopa]

Re: Derivación Implícita de Funciones Compuestas

Claro que sí , has de derivar sec(1/y)
Y si te resulta más fácil simplemente escríbetelo así :
d/dx ( sec^2 (1/f(x)) = 2 sec(1/f(x) d/dx ( sec(1/f(x))= 2 sec(1/f(x)) tan(1/f(x)) sec(1/f(x)) * d/dx( 1/f(x)) = -2 sec(f(x))^2 tan(1/f(x))f'(x)/f(x)^2=1
y de aquí puedes aislar f'(x) .

[Umbopa]

Re: Derivación Implícita de Funciones Compuestas

la verdad nunca he derivado en implícitas
Saludos

Pues es muy útil saber derivar de forma implícita porque hay ocasiones en las que no se puede aislar la función y derivar .
Y un caso claro de esto es la función de estado de Van der Waals.

(P+a/v^2)(v-b)=RT , en muchas ocasiones es necesario conocer las derivadas del volumen , y no lo podemos aislar . Simplemente derivamos en los dos lados de la ecuación y sacamos dV/dT por ejemplo:

-2a/v^3 (v-b) dv/dT+(p+a/v^2)dv/dT=R ----> dv/dT=R/(p+a/v^2 - 2a/v^3 (v-b))

Y de aquí sacar el coeficiente de dilatación o Cp-Cv , y muchas cosas más...

[beliytxuri]

Re: Derivación Implícita de Funciones Compuestas

Es cierto lo que dice Atrode. y, aunque la función no se pueda despejar explícitamente, sí que se puede siempre despejar su derivada y estudiarla (crecimientos, extremos, etc.).

En general, si $F(x,y)=0$ es la expresión de una función en forma implícita, derivando en ambos miembros respecto de x y aplicando la regla de la cadena,

$<br /> \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y} y'=0 <br />$, de donde, $y'=\frac{-\partial F/\partial x}{ \partial F/\partial y}$.

En el caso concreto que plantea Jacinto, la función y sí se puede despejar explícitamente. De hecho,$y = 1/arsec\sqrt{x}$ y derivar tranquilamente (siempre que nos acordemos de la derivada del arco secante. Yo en mi vida he derivado ninguno) y así comprobar que se obtiene el mismo resultado derivando de uno u otro modo.