Divulgación ayuda con derivada segunda de un cociente

[diezbailes]

Hola tengo problemas en derivar dos veces este cociente de funciones. Utilizo la regla del cociente y al final me da un polinomio de 4º grado en el denominador que supongo que tendría que ruffinear o factoriazar de otro modo. Tengo que hallar la segunda derivada para igualarla a cero y encontrar los puntos en los que la derivada es concava hacia arriba o hacia abajo. La funcion es la siguiente:


$\frac{x^2+4}{4-x^2 }$

La primera derivada me da:
$\frac{16x}{ (4-x^2)^2}$

La derivada segunda me da:

$\frac{-48x^4+128x^2+256}{(x^4-8x^2+16)^2 }$

A ver si alguien me ayuda, Gracias.

[angel relativamente]

Re: ayuda con derivada segunda de un cociente

La del denominador es fácil de factorizar. Piensa que tienes una bicuadrada (puedes hacer el cambio de variable $y=x^2$ y te quedará una de segundo grado en y). Viendo las soluciones de esa ya intuyes cuáles pueden ser las de la de arriba. Si quieres una pista, prueba con el 2 y con el -2 para hacer Ruffini

PD: Me gusta el verbo ruffinear

Saludos
Ángel

[diezbailes]

Re: ayuda con derivada segunda de un cociente

Gracias Ángel, sobre todo por lo rapido de la respuesta. Efectivamente 2 y -2 son las raices y por tanto los puntos en los que la segunda derivada se hace 0. Solamente me queda una duda y es acerca de la ecuacion cuadrática resultante:
$-48x^2-64=0$ me da como resultado raices complejas (determinante negativo), ¿eso que significa?. ¿No le hago ni caso y analizo solo el 2 y el -2?

Gracias. Enrique

PD: puedes utilizar el verbo ruffinear cuando quieras

[angel relativamente]

Re: ayuda con derivada segunda de un cociente

Había analizado poco el ejercicio, y no me había fijado que en el numerador también tenías una bicuadrada. En ese caso se hace aún más simple. Lo primero que haría es simplificar el numerador (saca factor común a -16), así te queda algo mucho más fácil de resolver y factorizar. Una vez resuelta la bicuadrada, te quedarán 4 soluciones: 2,-2 y otras dos complejas. Evidentemente las complejas no has de tenerlas en cuenta. Si factorizas (haciendo ruffini con 2 y -2) te quedará una cosa del tipo:

$(x-2)(x+2)(3x^2 + 4)=0$

¿Qué valores de x hacen 0 la expresión? Pues como estamos en los reales, tan solo el 2 y el -2, que son los puntos que buscas,

Saludos,

[beliytxuri]

Re: ayuda con derivada segunda de un cociente

Para hallar los ceros de un cociente lo que hay que igualar a cero en principio es el numerador.
Los ceros del denominador implican asíntotas verticales (en las que también puede haber cambios de convexidad) y se reproducen una y otra vez en todas las derivadas, por la misma regla del cociente.

Dices que:
"Efectivamente 2 y -2 son las raices y por tanto los puntos en los que la segunda derivada se hace 0".

No es del todo correcto. La derivada ahí vale 0/0. Son puntos en los que, también se anula el denominador, o sea, propicios candidatos a asíntota vertical.

Si simplificas, te queda $f''(x)=\frac{16(3{x}^{2 }+4) }{{(4-{x}^{ 2} })^{3 } }$.

El signo del numerador es positivo y el del denominador va variando a su paso por las asíntotas verticales.

Luego la función tiene un esquema de forma así: $\wedge \uparrow U\uparrow \wedge$.

Un saludo.

[diezbailes]

Re: ayuda con derivada segunda de un cociente

Muchas gracias a todos, a ver si pronto mando algún hilo de funciones trigonométricas que me llevan un poco de calle.

Saludos, Enrique