Divulgación puntos criticos en funciones trigonométricas

[diezbailes]

Hola, cuando intento hallar los puntos críticos de un función trigonométrica igualando a cero la derivada de la misma función, me encuentro siempre con el mismo problema, resuelvo la ecuación trigonométrica y me da un resultado (un ángulo en radianes) pero el caso es que si estoy tratando de analizar la función en el intervalo $[0, 2\pi ]$ el resultado tiene que ser más de uno y no se muy bien como hallar los otros ángulos si no es aprendiendome de memoria el circulo unitario goniométrico en fin ya me diréis.
La función en cuestión podría ser esta:
$f\left(x \right) =x-2\sin x$
Su derivada:
$f,\left( x \right)=1+2\sin x$
Igualando a cero:
$1+2\sin x= 0 ; \sin x=\frac{-1}{2 }; x=\sin^-1\frac{-1}{2 }; x=\frac{-\pi }{6 }$
En cambio según el circulo unitario los ángulos cuyo seno es -1/2 son :
$\frac{7\pi }{6 } y\frac{11\pi }{ 6}$
En cambio en el círculo goniométrico ni siquiera aparece el $\frac{-\pi }{ 6}$ que es el que me da a mí resolviendo la ecuación. En fin, a ver si alguién me puede ayudar en decirme como se hallan estos ángulos en los que la derivada se hace cero.
Gracias. Enrique

[Al2000]

Re: puntos criticos en funciones trigonométricas

Disculpa, empieza de nuevo. Hiciste mal la derivada de f(x).

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: puntos criticos en funciones trigonométricas

En primer lugar decirte que la derivada está mal hecha. Supongo que la función inicial que tenías era:

$f\left(x \right) =x-2\cos x$

Y has tenido un error de tipeo. (ahora sigo con el mensaje que tengo que irme un segundo)

[diezbailes]

Re: puntos criticos en funciones trigonométricas

Efectivamente Angel era un error de tipeo ya que todavía voy un poco torpe con el Tex. la función es $f\left( x \right)=x-2\cos x$ y otra cosa que no he podido hacer con el tex es poner la coma en la f´(x) y tampoco el arcoseno que tenido que escribir sin^-1 y se ve un poco cutremente.

Enrique

[xXminombreXx]

Re: puntos criticos en funciones trigonométricas

Y cuál es el ángulo $-\pi / 6$? ¿En un círculo, su seno no es el mismo que el de $11\pi/6$

Las soluciones a esas ecuaciones se dejan como representantes de la clases de equivalencia de la relación de equivalencia que relaciona ángulos con diferencia $\lambda 2\pi$ en los intervalos [$0, 2\pi)$ ó [$-\pi,\pi)$. Eso quiere decir que esos ángulos tienen el mismo representante, porque se puede obtener uno del otro sumando o restando $2\pi$.

Intenta siempre reducir todos los ángulos al intervalo [$0, 2\pi)$ o al intervalo [$-\pi,\pi)$.

[diezbailes]

Re: puntos criticos en funciones trigonométricas

Gracias Angel,
Efectivamente el ángulo $\frac{-\pi }{6 }=-30 grados$ o lo que es lo mismo $\frac{11\pi }{6 }=330grados$ que es el que me da como resultado igualando a cero la ecuación trigonométrica y como tu bien dices definiéndolo en el intervalo del circulo positivo. Pero el problema lo sigo teniendo con el $\frac{7\pi }{6 }=210grados$ cuyo seno también es $\frac{-1}{2 }$ y por lo tanto también es un punto crítico donde la tangente es horizontal y no se como hallarlo si no es yendo al circulo goniométrico y comprobando los ángulos en cuyos senos sean $\frac{-1}{2 }$. Mi pregunta es si hay otra manera de hallar todos los ángulos del intervalo circular.
Enrique

[Al2000]

Re: puntos criticos en funciones trigonométricas

Efectivamente Angel era un error de tipeo ya que todavía voy un poco torpe con el Tex. la función es $f\left( x \right)=x-2\cos x$ y otra cosa que no he podido hacer con el tex es poner la coma en la f´(x) y tampoco el arcoseno que tenido que escribir sin^-1 y se ve un poco cutremente.
...

Enrique, la comilla para indicar la derivada la colocas usando un apóstrofo: [TEX]f'(x)[/TEX] se ve como $f'(x)$. El operador elevación a potencia (^) toma solamente el siguiente caracter como el exponente. Si quieres introducir un exponente de varios caracteres, enciérralo entre llaves: [TEX]\sin^{-1} [/TEX] se ve como $\sin^{-1}$. También es útil recordar que puedes ver el código tras una ecuación haciendo doble-click en la ecuación, pudiendo incluso copiar el código de la ventana que se abre.

Entrando en el tema de tu pregunta, el conocimiento del las funciones trigonométricas y sus inversas es irremplazable. En particular conocer la periodicidad de las funciones y los intervalos de sus argumentos en los cuales los valores de la función se repiten.

Recuerda que por ser las funciones trigonométricas periódicas, sus inversas no son verdaderas funciones del argumento, pues son multivaluadas, de manera que en la definición de las funciones trigonométricas inversas se restringe el recorrido de la función. El particular, para la función seno inverso el recorrido se restringe al rango $[- \frac \pi 2, \frac \pi 2]$, rango en el cual la función seno devuelve todos los valores posibles entre -1 y 1.

Cuando usas una calculadora para determinar la inversa del seno, es tu responsabilidad no solo ajustar los valores al rango positivo (si es que necesitas el valor entre 0 y 2$\pi$), sino determinar, caso de ser necesario, el ángulo suplementario, puesto que sabemos que $\mathrm {sen} \, \alpha = \, \mathrm {sen} \, (\pi -\alpha)$.

Un cuidado similar hay que tener con las inversas de las otras funciones trigonométricas.

Saludos,

Al

PD. Para introducir el símboño de grados (°) en una ecuación, precédelo con una diagonal invertida: [TEX]- \frac \pi 6 = -30\°[/TEX] se ve como $- \frac \pi 6 = -30\°$

[diezbailes]

Re: puntos criticos en funciones trigonométricas

Muchas gracias Al, voy a seguir con los siguientes ejercicios a ver si me voy aclarando.

Saludos Enrique