Divulgación hallar las incognitas de una función mediante algunos datos

[diezbailes]

Hola este ejercicio se supone que tendría que saber hacerlo pero acabo enganchándome a ver si alguién me ayuda en ver en que me estoy equivocando.

La función es la siguiente:
$f\left(x \right) =ax^3+bx^2+cx+d$
y los datos son estos:
máximo relativo (3, 3)
mínimo relativo (5, 1)
pto inflexión (4, 2)

Por lo tanto lo primero que hago es derivar la función para relacionarla con los maximos y minimos y derivarla de nuevo para relacionarla con los puntos de inflexión:
$f`\left(x \right)=3ax^2+2bx +c$
$f``\left(x \right)=6ax +2b$

si $f`\left(x \right)=0$ nos da como reultado 3 y 5 quiere decir que $f`\left(3 \right)=0 ; y f`\left(5 \right)=0$ por tanto:
$0=27a+6b+c$
$0=75a+10b+c$
Y si $f``\left(x \right)= 0$ nos da 4; $f``\left( 4 \right)= 0$ por tanto:
$0=24a+2b$
ahora intento resolver este sistema de ecuaciones y no hay manera.

$24a +2b =0$
$27a +6b + c=0$
$75a+ 10b +c=0$
Si el planteamiento es correcto a ver si me podéis dar una hoja de ruta para resolver la ecuación a ver si por gaus o por matrices o algo porque me estoy haciendo un lio..

Gracias. Enrique

[beliytxuri]

Re: hallar las incognitas de una función mediante algunos datos

De tus tres ecuaciones, sólo dos son linealmente independientes y tenemos cuatro incógnitas.

Obtendremos tres ecuaciones más (sólo necesitaremos en principio dos) utilizando los valores de la función $f(3)=3, f(5)=1, f(4)=2$.

[diezbailes]

Re: hallar las incognitas de una función mediante algunos datos

Hola, entonces debo de hacer un sistema de 4 ecuaciones cont 4 incógnitas?:

$f\left(3 \right)=3; 3=27a+9b+3c+d$
$f\left( 5 \right)=1; 1=125a+10b+5c+d$
$f`\left(x \right)=0 ;0=27a+6b+c$
$f`\left( x \right)=0 ;0=75a+10b+c$

Si es así, como distingo que las ecuaciones sean o no lineales entre ellas?

[Al2000]

Re: hallar las incognitas de una función mediante algunos datos

El problema en principio podría ser indeterminado, pues te están dando mas condiciones de las necesarias. Como conoces tres puntos por donde pasa el polinomio, sólo necesitas un dato mas para determinar completamente las cuatro constantes. Si utilizas los valores del polinomio en los tres puntos y una cualquiera de las pendientes, obtendrás la respuesta correcta. A mi me da (a,b,c,d) = (1/2,-6,45/2,-24).

Saludos,

Al

[diezbailes]

Re: hallar las incognitas de una función mediante algunos datos

Correcto Al, esa es la respuesta del libro, ahora falta que me salga a mí. Yo voy a utilizar el método de reducción de Gaus a ver si lo consigo. Muchas Gracias.

Saludos, Enrique

[diezbailes]

Re: hallar las incognitas de una función mediante algunos datos

Hola, no ha habido manera, me podrías decir que método has utilizado para resolver la ecuación de 4 incognitas? gaus y yo lo hemos intentado durante dos horas y tres páginas y no hemos podido.
Enrique

[angel relativamente]

Re: hallar las incognitas de una función mediante algunos datos

Hola. En primer lugar una dosis de sinceridad, no me he leído el problema del todo. Solo quiero comentar una cosa, las soluciones que da Al2000 no son solución al sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que tú planteas. O bien Al2000 se ha equivocado o bien tú no has puesto las ecuaciones correctas. La solución a ese sistema es (a,b,c,d)=(-1/88 , 3/22 , -45/88, 159/44) y mi solución la baso en los resultados de mi calculadora, aunque supongo que por Gauss no será muy complicado llegar.

Saludos,

[Al2000]

Re: hallar las incognitas de una función mediante algunos datos

Yo no use el sistema planteado por diezbailes, sino el sistema {P(3) = 3; P(5) = 1; P(4) = 2; P'(3) = 0}, como lo indiqué en mi mensaje previo (tres puntos del polinomio y una pendiente).

También probé con la otra pendiente y se llega al mismo resultado. El dato del punto de inflexión, P''(4) = 0, no es útil, estimo porque los puntos dato del polinomio están alineados y la concavidad en cualquier punto sería cero. De todas maneras yo te sugeriría que revises tus cálculos, pues lo acabo de hacer con el sistema de diezbailes (dos puntos, dos pendientes) y obtengo la misma solución:



Saludos,

Al

PD. diezbailes, como puedes ver del recorte de pantalla que he pegado arriba, mi método para resolver el sistema fue dárselo al computador y listo, lo cual hago corrientemente (si tuviera que calcular a pie cada cálculo que aparezca en algún mensaje en el que participe, entonces no participaría ni la décima parte ). Supongo que a ti no te sirve eso y debes hacerlo a pié... sorry brother, esas son las vainas de ser estudiante, pero yo ya pasé por eso hace unas cuantas décadas.

PD2. Ángel, hay un error en las ecuaciones de diezbailes. En la segunda ecuación, donde puso +10b debería decir +25b.

[diezbailes]

Re: hallar las incognitas de una función mediante algunos datos

Vaya estáis en todo, es que soy muy despiste. Por cierto que programa de ordenador utilizas para resolver las ecuaciones. El máxima? siempre me vendría bien para cotejar los resultados.

Gracias. Enrique

[Al2000]

Re: hallar las incognitas de una función mediante algunos datos

El recorte de pantalla es de Mathcad, una versión viejita.

Saludos,

Al