1r ciclo Estudiar continuidad

[AlejandroR]

Hola, llevo varias horas con este problema y no encuenro al solución, y es :
Sea$\varphi :R\to R$ continua con derivada continua, y sea la funcion:

$<br /> f(x,y)= [\varphi  (x)-\varphi(y)]/(x-y)  si  x \neq y<br />$

$<br /> \varphi '(x) si x=y<br />$
Estudia la continuidad de f.

He estado estudiando por el teorema de valor medio y no me sale nada :s podéis ayudarme?? gracias!!

EDITO: veo qye no se ve lo simbolos asique : \varphi = fi, y \neq = desigual

[Al2000]

Re: Estudiar continuidad

Otro te ayudará con tu problema, sólo quería decirte que para que se vean los símbolos, debes instruir al editor a que los muestre colocando las etiquetas [TEX][/TEX] encerrando la ecuación, de este modo: [TEX]f(x,y)= [\varphi (x)-\varphi(y)]/(x-y)[/TEX] se ve como $f(x,y)= [\varphi (x)-\varphi(y)]/(x-y)$.

Léete el hilo Cómo introducir ecuaciones en los mensajes.

Saludos,

Al

[beliytxuri]

Re: Estudiar continuidad

Fíjate que donde da "problemas" esta función f es en la recta $y=x.$. Fuera de esta recta, la función es evidentemente continua.

Estudiemos la continuidad, por ejemplo, en (0,0).

¿Cuánto vale
$<br /> \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\varphi (x)-\varphi (y)}{x-y }$?

Veamos primero los $(x,y)$ que están fuera de la recta $y=x$.

Aprovecharemos el TVM ya que veo que te es familiar:

$<br /> \left\vert{}\varphi (x)-\varphi (y) \right\vert{} = \varphi '(c)\left\vert{}x-y \right\vert{} <br />$, donde $c\in \left[x,y \right]$, así

$\left\vert{}f(x,y) \right\vert{}=\varphi '(c)$

y, cuando $(x,y)\to (0,0)$, $c$ (que está entre x e y) tiende también a 0, por lo que el límite vale $\varphi '(0)$, por ser la derivada continua, que es justo el valor de la función.

Si, por el contrario, nos acercamos a $(0,0)$ por la recta $y=x$, la función en esos puntos vale por definición $\varphi '(x)$, que también tiende a $\varphi '(0)$ , cuando $x\to 0$, por la continuidad de la derivada de nuevo.

Este argumento se puede extender a cualquier punto de la forma $(\lambda ,\lambda )$ y, así la función es continua en todo ${R}^{2 }.$