1r ciclo límites

[AlejandroR]

Hola, sabéis hacer este límite? (x+y)sen(1/x)sen(1/y) si xy diferente de 0 y 0 si xy=0.
e l limite cuando (x,y) tiende a xy=0

es que llevo un buen rato intentandolo y nada un saludo y gracias!!

[xXminombreXx]

Re: límites

Se que no es una resolución muy matemática, pero me suena la regla de que el límite de una función que sea el producto de una que tiende a 0 (x+y) por una acotada (senos), también tiende a 0, y que por lo tanto la dad tiende a 0.

Siento no poder ser de más ayuda, ya que esa regla la he visto por algún lado pero no la he estudiado y nunca la he necesitado... Por si sirve de algo, te dejo un plot de la gráfica para que veas que por lo menos sí tiende a 0 (no tiene pinta de irse del cero)



Un saludo.

[beliytxuri]

Re: límites

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[xXminombreXx]

Re: límites

beliytxuri, una duda. Lo primero si la regla que he puesto antes es válida, que una función que tiende a 0 por otra acotada también tiende a 0. No se me ha ocurrido ningún caso en el que pueda no ser cierto, pero nunca se sabe...

Lo segundo es porqué cambias x+y por x-y después de la desigualdad, si los dos senos son menores que 1, no se debería cumplir que: $||x+y||||\sin(1/x))\sin(1/y)|| \leq ||x+y||$, y como x+y tiende a 0, entonces la función dada también?

Y otra duda, aprovechando el tema, de límites en varias variables (2). En una función que representa una superficie de revolución f(x,y), cualquiera en la que aparezcan las variables x e y únicamente como x²+y², para calcular el límite, ¿bastaría con hacer un sólo límite direccional? Se que por lo general el hecho de que límites direccionales den un límite no implica que la función tenga límite, pero si es de revolución sabemos que en torno al límite todos los puntos a la misma distancia tienen el mismo valor y da igual por la dirección por la que te acerques porque por todas debes llegar al mismo sitio... ¿es este razonamiento correcto?

Un saludo y gracias

[beliytxuri]

Re: límites

Sí, Xx. Tienes toda la razón. Gracias por la corrección. Mea culpa. Creo que me perdí un poco en el "bosque" del código Látex. Es ésto lo que debería figurar:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo que dices para el producto de la función acotada por la función que tiende a cero es cierto. Una pequeña demostración:

Sea $h(x)=f(x).g(x), <br />$
con $f(x)\to 0$ y
$g$ acotada, es decir, $\exists M>0 /\forall x\left\vert{}g(x) \right\vert{}<=M$,
entonces (a ver si ahora no me equivoco):

$<br /> \left\vert{}h(x) \right\vert{}=\left\vert{}f(x) \right\vert{} \left\vert{}g(x) \right\vert{} \leqslant \left\vert{}f(x) \right\vert{}M <br />$

que al igual que $f(x)$, también tiende a cero.

En cuanto a la superficie de revolución, también es correcto lo que dices, pero si el punto $(x,y)$ en el cual vas a calcular el límite está en el eje de revolución.

El límite direccional en la dirección $\vec{v}$ no es más que el límite de la gráfica de una variable resultante de la intersección de la superficie con el plano generado por $\vec{v}$ y $\vec{g}$ (el vector director de la recta generatriz).

En el caso de una superficie de revolución y estudiando el límite en un punto que esté sobre el eje de revolución, es claro que para cualquier dirección $\vec{v}$ que elijas, la gráfica que te vas a encontrar es siempre la misma y, por tanto, si existe el límite en una dirección, también existirá en todas las demás y valdrá lo mismo.

Sin embargo, piensa, en la superficie que se obtiene revolviendo $y=E\left[x \right]$ (parte entera de x) en torno al eje y sus límites direccionales en (1,0) por ejemplo. (Si has visto alguna cocina antigua de carbón, esta superficie recuerda a los hierros circulares con los que se cubría el fogón situados a diferentes alturas).

Analíticamente, este tipo de superficies se estudian mejor pasando a polares:
$<br /> {\rho }^{ 2}={x}^{2 } +{y}^{ 2} <br />$, y viendo si el límite depende o no de $\theta$ (o sea, de la dirección).

Un saludo.

[xXminombreXx]

Re: límites

Gracias, pues era sencilla la demostración...

Sí, en todo momento me refería a puntos en el eje de revolución, debí haberlo aclarado.

Un saludo y gracias.