1r ciclo encontrar extremo de funcion

[AlejandroR]

hola, estoy haciendo un ejercicio y no me sale nada, este es el enunciado: en cuentra los extremos de las siguientes funciones en los conjuntos que se indican:

ii) f(x,y,z)=x+y+z en S={2x^2+3y^2+6z^2=1}

entonces he echo el gradiente que queda 1,1,1. y luego la hessiana es todo ceros, entonces cómo se puede seguir? porque la solucion deberia ser : maximo en (1/2,1/3,1/6) y min (-1/2,-1/3,-1/6)

[Cat_in_a_box]

Re: encontrar extremo de funcion

Hola,

Este es un problema de extremos condicionados, por lo que el tratamiento de la hessiana puede no ser suficiente. De hecho, debes recurrir al método de los multiplicadores de Lagrange, o en su forma más práctica, a la construcción de la función auxiliar de Lagrange.

Veamos, tenemos la siguiente función de tres variables y el conjunto:

$$f(x,y,z)=x+y+z$$

$$S=\{x,y,z|\quad 2x^2+3y^2+6z^2=1\}$$

Observa pues, que la función es continua y el conjunto es cerrado (de hecho se trata de un elipsoide, si te fijas). Con esto quiero decir que el conjunto contiene a todos sus puntos frontera (es decir, aquellos en los que toda bola abierta centrada en dicho punto contiene al menos un punto del conjunto y otro que no lo es) o lo que es lo mismo, que su complementario es abierto.

Después de soltar un poco de parrafada de topología, puedes afirmar que en esta función, dadas las condiciones anteriores, existen los extremos.

Hemos de proceder de la siguiente forma: evaluar la función con la restricción indicada. Para ello, construimos la función auxiliar de Lagrange, que será:

$$h(\lambda, x,y,z)=x+y+z-\lambda(2x^2+3y^2+6z^2-1)$$

Seguidamente, calculas las derivadas parciales la función auxiliar de Lagrange. Éstas deben ser igual a cero, obteniendo así un sistema de ecuaciones que por lo general no es lineal:

$$\frac{\partial h }{\partial x}=1-4\lambda x ;\quad \frac{\partial h }{\partial y}=1-6\lambda y ;\quad \frac{\partial h}{\partial z }=1-12\lambda z;\quad \frac{\partial h}{\partial \lambda } =2x^2+3y^2+6z^2-1$$

Observa que la última derivada parcial es la que te reproduce la ligadura o la restricción sobre la que calculas los extremos de la función. Por tanto obtienes el sistema:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Vamos, resuelves el sistema y obtendrás estas soluciones (por si te interesa, para la resolución del sistema aparecen dos caminos para tomar, de donde se obtiene también que $\lambda=\pm 1/2$ y así sigues resolviéndolo...)

Aquí tienes dos opciones: sustituyes y ves cuál es máximo y mínimo de la función, o aplicas el criterio de la derivada segunda para extremos condionados. Es ''similar'' al criterio de Sylvester con la hessiana, pero aquí construyes lo que se denomina hessiana orlada. Sinceramente, ni me acuerdo de ese criterio, así que para casos de extremos condicionados suelo evaluar la función. Espero que lo entiendas así.

Saludos,

[carroza]

Re: encontrar extremo de funcion

Usa los multiplicadores de Lagrange.

[juantv]

Re: encontrar extremo de funcion

revisa los hilos de no hace mucho tiempo, la misma cosa de siempre ... .

[Gaz]

Re: encontrar extremo de funcion

Hola,

Este es un problema de extremos condicionados, por lo que el tratamiento de la hessiana puede no ser suficiente. De hecho, debes recurrir al método de los multiplicadores de Lagrange, o en su forma más práctica, a la construcción de la función auxiliar de Lagrange.

Veamos, tenemos la siguiente función de tres variables y el conjunto:

$$f(x,y,z)=x+y+z$$

$$S=\{x,y,z|\quad 2x^2+3y^2+6z^2=1\}$$

Observa pues, que la función es continua y el conjunto es cerrado (de hecho se trata de un elipsoide, si te fijas). Con esto quiero decir que el conjunto contiene a todos sus puntos frontera (es decir, aquellos en los que toda bola abierta centrada en dicho punto contiene al menos un punto del conjunto y otro que no lo es) o lo que es lo mismo, que su complementario es abierto.

Después de soltar un poco de parrafada de topología, puedes afirmar que en esta función, dadas las condiciones anteriores, existen los extremos.

Hemos de proceder de la siguiente forma: evaluar la función con la restricción indicada. Para ello, construimos la función auxiliar de Lagrange, que será:

$$h(\lambda, x,y,z)=x+y+z-\lambda(2x^2+3y^2+6z^2-1)$$

Seguidamente, calculas las derivadas parciales la función auxiliar de Lagrange. Éstas deben ser igual a cero, obteniendo así un sistema de ecuaciones que por lo general no es lineal:

$$\frac{\partial h }{\partial x}=1-4\lambda x ;\quad \frac{\partial h }{\partial y}=1-6\lambda y ;\quad \frac{\partial h}{\partial z }=1-12\lambda z;\quad \frac{\partial h}{\partial \lambda } =2x^2+3y^2+6z^2-1$$

Observa que la última derivada parcial es la que te reproduce la ligadura o la restricción sobre la que calculas los extremos de la función. Por tanto obtienes el sistema:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Vamos, resuelves el sistema y obtendrás estas soluciones (por si te interesa, para la resolución del sistema aparecen dos caminos para tomar, de donde se obtiene también que $\lambda=\pm 1/2$ y así sigues resolviéndolo...)

Aquí tienes dos opciones: sustituyes y ves cuál es máximo y mínimo de la función, o aplicas el criterio de la derivada segunda para extremos condionados. Es ''similar'' al criterio de Sylvester con la hessiana, pero aquí construyes lo que se denomina hessiana orlada. Sinceramente, ni me acuerdo de ese criterio, así que para casos de extremos condicionados suelo evaluar la función. Espero que lo entiendas así.

Saludos,

gracia, pero la hessiana orlada, cómo se puede hacer si su diagonal es 0? no es concluyente?

[Umbopa]

Re: encontrar extremo de funcion

Otra manera es mirar los valores propios de la matriz hessiana (Una matriz simétrica siempre es diagonalizable). Los dos negativos -> máximo ; los dos positivos -> mínimo Distinto signo punto de silla... etc (Mirar el desarrollo en serie de taylor de segundo orden)

[AlejandroR]

Re: encontrar extremo de funcion

entonces en ese ejercicio habría que diagonalizarla hessiana que da en su diagonal 0 0 0?