Otras carreras Cambio de variable integral multiple

[Gaz]

Hola, estoy haciendo unos ejercicios de integrales y he llegado a a dos ejercicios que no sé como hacerlos:
* Usa una transformacion lineal para calcular \int(limitede la integral S)(x-y)²sen²(x+y)dxdy siendo S el paralelogramo de vértices (pi,0),(2pi,pi),(pi,2pi)y (0,pi)
osea hay que integrar 4 veces y cambiando las variables por la que te da S, por ejemplo x=pi, e y=0; x=2pi e y=pi??

* Calcula \int (limite inferior D) (y-x)dxdy, siendo D la region del plano limitada por las rectas, y=x+1, y=x-3,y=(7-x)/3 e y=5-x/3.

Se hace el mismo procedimiento que el de arriba?


Gracias!

[Umbopa]

Re: Cambio de variable integral multiple

No a ver una transformación lineal se refiere : a definir unas nuevas variables u,v -> u(x,y),v(x,y)
Para facilitar los cálculos .
Hay manera de encontrar un cambio de variables . Si te fijas en tu integral , hay un cambio de variables que el cuerpo te pide directamente :
u=x-y ; v=x+y . Que es un cambio lineal.
Vamos a escribir las recta de delimitan tu paralelogramo :
y1=pi+x -----> y1-x=pi
y2=x-pi -----> y2-x=-pi
y3=-x+3pi -----> y3+x=3pi
y4=-x+pi ----> y4+x=pi

Por lo tanto ya ves cuales son los limites en tu cambio de variable ... de un paralelogramos pasas a un cuadrado en las variables u,v

-pi<u<pi y pi<v<3pi

Para calcular dx*dy= Jacobiano(D(x,y)/D(u,v)) du*dv= 1/2 du*dv

Ya solo queda integrar ---> integral .... ---> integral({-pi<u<pi};{pi<v<3pi} u^2*sen^2 v 1/2 du*dv .... que es muy sencilla de hacer y creo que tu ya sabes.

El siguiente es el mismo tipo de problema . A ver si puedes hacerlo con las pistas que te he dado .

[Gaz]

Re: Cambio de variable integral multiple

Sinceramente no entiendo lo que haces, me he perdido desde el cambio de variable, porque haces ese cambio de variable asi? despues porque multiplicas los dos diferenciales? dx*dy?

[Umbopa]

Re: Cambio de variable integral multiple

A ver lo primero que tienes que hacer es escribir las rectas que limitan tu paralelogramo. Y si te fijas en las rectas , y-x varia entre pi y -pi . y+x varia entre pi y 3pi.
Si yo hago un cambio de variables u=x-y ; v=x+y . Mis nuevas variables cambiaran entre un cuadrado en las coordenadas u,v . No un paralelogramo como en las coordenadas x,y.
Ademas dentro del seno tienes un x+y y fuera un (x-y)^2 y eso te ayudara aun más a integrar. Ademas el cambio es lineal como indica el enunciado.
Si cambias las variables x,y->u,v también has de cambiar los diferenciales dxdy->dudv y lo que los relaciona es el jacobiano...
No se explicarlo mejor si quieres mas detalles consulta un libro de cálculo...

[Gaz]

Re: Cambio de variable integral multiple

osea, la integral queda asi: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
despejando quedaria $\int -\pi a \pi$u^3 /3 (evaluado en 3pi a pi) que da resultado un numero entero. (268.72) entonces queda $\int -\pi a \pi 268.72sen^2(v)1/2dv$ y eso queda $268.72 1/2 \int -pi a pi sen^2(v)dv$ luego 268.72/2 [1/2(v-sen(v)cos(v)] de -pi a pi, que entonces da cero... y el resultado que tengo tiene que dar $\pi ^4/3$ y no da eso :s que he hecho mal??


Gracias por ayudarme!

[arivasm]

Re: Cambio de variable integral multiple

$\dst \int_{-\pi}^\pi \sin^2 v \dd v = \left. \frac{1}{2} (v - \sin v \cos v) \right]_{-\pi}^{\pi}=\pi \neq 0$

[Umbopa]

Re: Cambio de variable integral multiple

[Gaz]

Re: Cambio de variable integral multiple

en el 2° ejercicio he puesto los limites las rectas que ya me daban lo de y=x+1, y=x-3,... y lo paso quedando: y1-x=1, y2-x=-3, 3y3-(-x)=7, 3y4-(-x)=15 a la misma integral $\int (y-x)dxdy$ porque esta no se hace por partes no? y entonces queda $\int de 3 a 1$ pero ela siguiente integral como es? porque se tiene el 3yy deberia queda y-x para que quede igual que la misma integral del principio no?