Secundaria Sobre división de polinomios

[eduardo2384]

Saludos amigos, tengo el siguiente problema en el cual tengo dificultades, dice así:

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Si en la división:

$\dfrac{ax^{a-1}+(2a-1)x^{a-2}+(3a-2)x^{a-3}+\ldots+(a^2-a+1)}{ax-1}$

el cuádruple del resto es igual a nueve veces la suma de coeficientes del cociente, hallar $a$



Respuesta: $a$=9

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Intenté aplicar el teorema del resto pero no se como tomar el término anterior a $a^2-a+1$ es decir el término independiente. Probé con el algoritmo de la división para intentar dar valores a $x$ pero nada . ¿que más podría hacer?

Gracias

[rarar]

Re: Sobre división de polinomios

Eduardo2384:
Si escribiésemos la división anterior así:

$\dst \frac{(a-0)x^{a-1}+(2a-1)x^{a-2}+(3a-2)x^{a-3}+...+[(aa)-(a-1)]x^0}{ax-1}$

¿lo intuyes mejor?
Un cordial saludo.

[eduardo2384]

Re: Sobre división de polinomios

Aun asi no logro verlo ....

[rarar]

Re: Sobre división de polinomios

$\dst \frac{(a-0)x^{a-1}+(2a-1)x^{a-2}+(3a-2)x^{a-3}+...+[(aa)-(a-1)]x^0}{ax-1}$

Como son "a" sumandos en el numerador
$(1*a - 0)$
$(2*a - 1)$
$(3*a - 2)$
$(4*a - 3)$

$...$

$(a * a) - (a - 1)$
Para el término anterior vemos dos partes:
A)$1*a\text{ , } 2*a\text{ , } 3*a\text{ , } 4*a\text{ , } ...\text{ , } a*a$
El anterior será $(a-1)*a$

B) Segunda parte:$0\text{ , }1 \text{ , }2\text{ , }3\text{ , }4\text{ , } ..., (a-1)$
¿cúal será el anterior a (a-1)?

Intenta verlo. Lo interesante es que tú lo puedas deducir.
Si sigues teniendo problema en verlo, dímelo.
Un cordial saludo.

[eduardo2384]

Re: Sobre división de polinomios

Veo tu punto, pero lo que llego es a lo siguiente:

Aplico el teorema del resto y luego el método Ruffini y obtengo:

.......|..a...2a-1...3a-2..................$a^2$-2a+2...............|...$a^2$-a+1
.......|..................................................................|..............
(1/a)|........1.........2.............................................|..............
____|_________________________________________|(residuo)
.......|..a.....2a.....3a............(aqui no se que colocar)


Para poder usar el dato de la suma de coeficientes del cociente y el cuadruple del residuo debo saber que colocar en donde dice ''aqui no se que colocar'' y ''residuo''. Luego de eso ya es fácil de usar el dato, pero no que colocar en esos espacios. Se supone que es en función de $a$, pero no se cual es la forma de esos términos que me faltan.

[eduardo2384]

Re: Sobre división de polinomios

Waa! logré dar con la respuesta. Logré deducir que lo que va en ''aqui no se que colocar'' es $a(a-1)$ y en ''residuo'' va $a^2$. Por lo que los coeficientes del cociente son:

1, 2, 3, .....(a-1). (habia olvidado que había que divir sobre $a$ para obtener los verdaderos coeficientes.)

Ahora del dato:
$<br /> 4a^2=9\dfrac{(a-1)a}{2}$

de donde:

a=9