Secundaria Probad en este ejercicio que raiz de 3 es irracional.

[Enphym]

Hola mi gente, Primero que todo un abrazo a todos y Exitos en sus vidas; Ahora..


Me tope con este ejercicio:

$(1 - \frac{\sqrt{3} }{2 }){}^{2 }$

Sé que es irracional(porque un amigo me dijo la respuesta ), pero ¿porque?, es decir ¿no puedo hacer esto?


$(1 - \frac{\sqrt{3} }{2 }){}^{2 }$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

"Antes de continuar no se porque no me salio bien, se los juro le di mas de 15 min intentando y no me salio asi que decidi continuar y dejar la idea plasmada de acuerdo a su conocimiento , se que me entienden "


Elevo y cancelo raiz del $\sqrt{3}$:


$<br /> 1 - \frac{3}{ 4} <br />$

Y bueno el resultado


$0.25$

Como les digo , se que estoy mal, mi favor es que me indiquen porque no debo hacer esto, ¿porque? , y tambien , como lo dice el titulo ¿porque teniendo elevada al cuadrado la raiz de 3 no puedo cancelarla?


Gracias y saludos a todos

[arreldepi]

Re: Probad en este ejercicio que raiz de 3 es irracional.

Trata de expresar $\sqrt{3}$ como $\frac pq$, donde $p$ y $q$ son primos entre sí.

Saludos!

[rarar]

Re: Probad en este ejercicio que raiz de 3 es irracional.

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$
Esta fórmula se deriva de:
$(a-b)^2=(a-b)(a-b)$
Si operas te sale la solución primera.
Para demostrar que es irracional prueba lo que te ha dicho arreldepi.

[angel relativamente]

Re: Probad en este ejercicio que raiz de 3 es irracional.

Quizá te ayude esta demostración de por qué $\sqrt 2$ es irracional:

$\dst \sqrt{2} = \frac{a}b \rightarrow 2=\frac{a^2}{b^2} \rightarrow a^2=2b^2$

Como $a^2=2b^2$ quiere decir a $a^2$ es par (ya que es múltiplo de 2).

Por tanto si $a^2$ es par quiere decir que a también es par. Como a es par (es decir, un múltiplo de 2) lo escribiremos así:

$a=2k$

Por tanto:

$a^2 = 4k^2$

Y por tanto:

$2b^2 = 4k^2 \rightarrow b^2=2k^2$

Es decir, $b^2$ es par y por consiguiente b también es par.

Analizando la demostración se observa que al suponer $\dst \sqrt{2} = \frac{a}b$ con a y b primos entre sí se llega a la conclusión que tanto a como b son pares, por tanto no son primos entre sí. Por tanto $\sqrt{2}$ no puede escribirse como el cociente de dos enteros.

Ahora mi pregunta es, ¿tienes que demostrar que $\sqrt 3$ es irracional o que $\left( 1-\dfrac{\sqrt 3}2 \right)^2$ es irracional?
A lo mejor a tu nivel no te piden una demostración como la anterior, y simplemente dan por descontado que sabes que la raíz cuadrada de 3 es un irracional, y puesto que la solución queda en función de raíz de 3, será irracional.

Para operar, ten en cuenta que:

$(a\pm b)^2 \neq a^2 \pm b^2$

Como ya han dicho:

$a^2 \pm b^2= a^2 \pm 2ab+ b^2$

Por tanto, al desarrollar la expresión que tienes queda:

$\left( 1-\dfrac{\sqrt 3}2 \right)^2=1^2-2 \cdot 1 \cdot \dfrac{\sqrt 3}2 + \left(\dfrac{\sqrt 3}2 \right)^2 =1-\sqrt 3 + \dfrac 34 =\dfrac{7-4\sqrt{3}}{4}$

Que es irracional puesto que la suma de un entero más un irracional da un irracional.

Saludos,

[arivasm]

Re: Probad en este ejercicio que raiz de 3 es irracional.

Si no me equivoco has escrito lo siguiente:

...$(1 - \frac{\sqrt{3} }{2 })^{2 }$

Sé que es irracional(porque un amigo me dijo la respuesta ), pero ¿porque?, es decir ¿no puedo hacer esto?


$(1 - \frac{\sqrt{3} }{2 })^{2 }$

${1}^{ 2} -\frac{{\left( \sqrt{3} \right) }^{2 } }{{2}^{2 } }$
....Elevo y cancelo raiz del $\sqrt{3}$:


$<br /> 1 - \frac{3}{ 4} <br />$

Y bueno el resultado

$0.25$

Si es así, la explicación es de lo más simple: estás desarrollando mal el cuadrado de la resta. $(a-b)^2 \neq a^2-b^2$, sino $(a-b)^2=a^2-2 ab + b^2$. Es decir: $\dst \left (1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} - \sqrt{3} \neq \frac{1}{4}$