1r ciclo Límites de integración.

[Cat_in_a_box]

Hola a todos,

Estoy estudiando el tema de cámbios de variable en integrales múltiples y me ha surgido una duda. El ejercicio te pide calcular el volumen encerrado por lo siguiente:

$$4z=\sqrt{x^2+y^2}$$

$$x^2+y^2=8y$$

$$z=0$$

He hecho el dibujo, y si no me equivoco, se trata de la intersección de un cilindro con un cono. La dificultad también viene al estar el eje del cilindro descentrado. El problema no tiene más que clacular:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Integral extendida a la región W que definen las superficies que he puesto antes. Claramente hay que hacer la integral utilizando coordenadas que no sean cartesianas. Había pensado utilizar cilíndricas, pero me he liado al calcular los límites de integración. ¿Alguna ayuda?

Muchas gracias

[xXminombreXx]

Re: Límites de integración.

Este ejercicio me suena...

En fin, no lo he hecho aún, pero el volumen es el mismo que si lo mueves todo de modo que el cilindro quede centrado, ¿no?. Puedes después de moverlo todo, pasar a cilíndricas normalmente, y limitar la coordenada z por la función del cono? Prueba así a ver si sale. Lo tendré que hacer luego. La r por el radio del cilindro y la coordenada angular de 0 a 2$\pi$

Un saludo.

[dvc]

Re: Límites de integración.

En efecto, el cilindro está descentrado. Lo que puedes hacer, es el siguiente cambio de coordenadas:
$x=rcos(\theta )$
$y=rcos(\theta )$
(z en las nuevas coordenadas queda igual).

Si te fijas bien, en estas coordenadas el valor de r dentro del cilindro (distancia de un punto del cilindro al eje z) va de 0 a $8cos(\theta )$. El valor de $\theta$ va de $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$ y el valor de z de 0 al plano donde se cortan el cilindro y el cono.

Haz lo mismo para el cono, encuentra el plano donde se cortan el cono y el cilindro y podrás resolver la integral.

Si sigues sin saber como hacerlo dímelo y seré un poco más explicito.