Otras carreras Integrales de linea

[AlejandroR]

Hola, miren llevo 2horas intentando hacer este ejercicio y nada no me sae, creo que es or la parametrización, es:

$\int \lambda F$ siendo $F(x,y,z)=(2xy+z^2,x^2,2xz)$ y $\lambda$ la interseccion del plano x=y con la esfera$x^2+y^2+z^2=a^2$ recorrida en clauqiera de los dos sentidos.
bueno. la parametrización de la esfera tiene 2 variables, x=acosusenv;y=rsenusenv;rcosv

pero digo, como la linea al recorrerla hace una circunferencia pues será sobre esa circunferencia no? y además! estoy en el partado de integrales de línea, sobre una variable entonces debería de ser la parametrizacion asi no?: $x=acost, y=asent,z=\sqrt{a^2-acost-asent}$ no??

[Umbopa]

Re: Integrales de linea

A ver si te dicen :

x=y -> 2y^2+z^2=alfa^2 -> r= (x,y,z) = (y,y,z) = (alfa/raiz(2) cos(t) , alfa/raiz(2) cos(t) , alfa*sin(t)) -> Módulo (r) = alfa

dr/dt = (-alfa/raiz(2) sin(t) , -alfa/raiz(2) sin(t) , alfa*cos(t))

F=F(x,y,z)= F(alfa/raiz(2) cos(t) , alfa/raiz(2) cos(t) , alfa*sin(t)) =

( 2/raiz(2) alfa^2 sin(t) cos(t) + alfa^2 sin^2 (t) , alfa^2/2 cos^2(t) , 2/raiz(2) alfa^2 sin(t) cos(t))

Ya está , solo queda decir que .

Integral de F en lambda = Integral ( F(t)·dr/dt·dt ) desde t=0 hasta 2*pi (Toda la circunferencia )

No uso latex lo siento espero que entiendas la idea

[AlejandroR]

Re: Integrales de linea

y esa parametrización como lo has echo?

[Umbopa]

Re: Integrales de linea

Si es la intersección : x=y con x^2+y^2+z^2=alfa^2 :

-> la curva es 2y^2+z^2=alfa^2 para usar una buena parametrización yo puedo usar esta :

r= (alfa/raiz(2) cos(t) , alfa/raiz(2) cos(t) , alfa*sin(t)) . Porque esta ? pues porque cumple la ecuación de la curva :

2y^2+z^2 = alfa^2 /2 cos(t)^2 + alfa^2 /2 cos(t)^2 + alfa^2 sin(t)^2 = alfa ^2

Por lo tanto es un parametrización correcta . pero puedes usar otra si quieres.

[AlejandroR]

Re: Integrales de linea

es que la verdad la parametrización no la entiendo muy bien :s

[Umbopa]

Re: Integrales de linea

Una curva cualquiera se puede parametrizar con una variable es decir r=r(t)

Si tenemos una curva de este tipo 2y^2+z^2=alfa^2 . Podemos parametrizar en cartesianas :

r=(x,y,z) = ( y,y,z(y)) = (y,y,+-Raiz(alfa^2-2y^2)) donde ahora t=y

Pero no solo se puede parametrizar en cartesianas ahora yo puedo definir la siguiente curva :

x= y(t)
y(t) = alfa/raiz(2) cos(t)
z(t) = alfa sin(t)

Esto me define una curva no? porque si r(x,y,z)=r(x(t),y(t),z(t))=r(t) eso es la parametrización de una curva .

Y como se yo que esta parametrización me define 2y^2+z^2=alfa^2?

Pues porque si sustituyo y->y(t) y z->z(t) obtengo que 2y(t)^2+z(t)^2=alfa^2

[AlejandroR]

Re: Integrales de linea

creo que entiendo.. pero cómo calculaste esa parametrización?

[Umbopa]

Re: Integrales de linea

xD no la calcule es que la más típica es la de una circunferencia que es :

x^2+y^2=R^2 y una manera de parametrizarla fácil es así :

x=R*cos(t)
y=R*sin(t) y esto son coordenadas polares.

Lo tuyo es un muy parecido solo que con un raiz de 2 por el medio. Es coger un poco de habilidad parametrizando...

[AlejandroR]

Re: Integrales de linea

y ese raiz de 2 de donde sale? porque es la misma circunferencia que la tuya, x^2+y^2=a^2 siendo x=y -> 2y^2+z^2=a^2, entonces donde lo sacas? de raiz de a^2/2??


por cierto si te dan una función rara, por ejemplo un cacho de circunferencia como la parametrizas?

[Umbopa]

Re: Integrales de linea

Pues te inventas algo o miras las mejores coordenadas para tu problema .

no es lo mismo x^2+y^2=R^2 que 2y^2+z^2=alfa^2

el 2 marca la diferencia hazlo en el papel y lo entenderás...

[AlejandroR]

Re: Integrales de linea

por eso, que es por el raiz de a^2/2 no?.

y eso de te inventas algo? no lo pillo, como puedes inventarte algo? y que de bien, tendrá que orientarse por unos patrones o algo no?

[Umbopa]

Re: Integrales de linea

Si los patrones de tu cerebro y de tu experiencia xd...

Pues depende del problema , de sus simetrías , y de si se te ocurre algo en ese momento no se...

No creo que te pidan mas haya de parábolas , elipses , circunferencias espirales y cuatro cosas más ...

Puedes bajarte un programa de dibujar funciones como el "graph" y vas probando para entrar en contacto con las curvas y la parametrización de estas ...

[AlejandroR]

Re: Integrales de linea

bueno eso de pedir, es que lo digo porquetengo un problema que dice: calcula el area de la porciion del apraboloide z=x^2+y^2 que se encuentra en el cilindro x^2+y^2=a^2, y eso es con la parametrización del área que forma la intersección de ambas no?

[Umbopa]

Re: Integrales de linea

Si bueno esto es lo que te digo te pedirán como máximo elipses parábolas etc...
En este caso es una superficie así que es un paraboloide . Una buena elección para parametrizar sería :

x=r*cos(t)
y=r*cos(t)
z=z

coordenadas cilíndricas la superficie queda :

z=x^2+y^2=r^2

osea :

r(x,y,z)=(x,y,x^2+y^2)= (r*cos(t),r*sin(t),r^2) = r(r,t) dos variables -> superficie

[AlejandroR]

Re: Integrales de linea

me podrías mirar a ver si lo que hago está bien?

calcula el area de la porcion del cilindro x^2+z^2=16 limitada por el cilindro x^2+y^2=16

O=teta
entonces tnego que : x=4senO, y=4cosO, z=raiz de 16-16sen^2O;


porque entonces al ser una superficie tengo que tener 2 variables y ahí solo tengo una