Secundaria Sucesiones

[ack]

Tengo un par de problemas de una practica que estoy haciendo y no me salieron/no se que hacer.
1) a0, b0 $\in$ R // a0>b0>0 // an$\geqslant$ bn para todo n natural // an decreciente y bn creciente
a(n+1) = $\frac{an + bn}{2}$, b(n+1)=$\sqrt{an bn }$
demostrar que son sucesiones convergentes y lim de ambos es el mismo.
>Ya tenia que eran monotonas (crec/decrec). Como hago para terminar?

2) Una sucesion dada por recurrencia a(n+1)= sen(an), probar que es convergente y calcular su limite.
> Sé que sen(x) es una funcion acotada y entiendo que es convergente, pero no se como demostrarlo. Y no se como se calcula el limite.

3) El problema este seria que no se demostrar esto sin induccion (y como no tocamos el tema en la calculo, no "siento" como tengo que probar esto).
a) Probar que $\left( \sum_{j = 0}^{n}\ {q}^{ j} \right)$ = $\frac{1-{q}^{ n+1} }{ 1-q}$
b) Calcular $\sum_{j = 0}^\infty$ $\frac{7}{ {2}^{j } }$ y $\sum_{j = 2}^\infty$ $\frac{3}{ {4}^{j } }$

*EDITADO
Ok, con respecto al 3)a) lo que hice fue desarrollar y llegue a una igualdad. Es eso suficiente como prueba?

[GNzcuber]

Re: Sucesiones

Hola ack,

En este post te responderé lo que pueda de tus dudas, pero debes abrir un nuevo hilo para cada tema, e intentar aprender a usar LaTeX así puede ser más entendedor ciertas fórmulas, veo que en las últimas lo has usado, pero que no te dé pereza porque más pereza da intentar interpretar qué has intentado escribir cuando no es nuestro el problema .

No te lo resolveré por orden porque el primero me costará algo más que el tercero por ejemplo que es inmediato:

3) Si no quieres hacerlo por inducción puedes hacer lo siguiente:

$$\displaystyle <br /> \begin{aligned}<br /> \sum_{j=0}^n q^j \rightarrow -\left(q\cdot \sum_{j=0}^n q^j\right. &= \left.\sum_{j=0}^{n+1} q^j - 1\right) \\<br /> \underline{\sum_{j=0}^{n} q^j} &= \underline{\sum_{j=0}^{n+1} q^j - q^{n+1}} \\ <br /> (1-q) \sum_{j=0}^{n+1} q^j &= 1 - q^{n+1} \Rightarrow \sum_{j=0}^{n} q^j = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \quad q\neq 1<br /> \end{aligned}<br />$$

Donde he multiplicado la primera ecuación por -1 y las he sumado.

Cuando tienes una serie, que es una suma infinita de términos, ésta sólo tiene sentido si es convergente, por lo tanto el sumatorio anterior si hacemos el límite cuando $n$ tiende a infinito [entonces infinito queda seco ] esta serie sólo tiene sentido cuando $|q|<1$.

Teniendo ésto en cuenta haremos los otros apartados:

$$\displaystyle <br /> \begin{aligned}<br /> \sum_{j=0}^{\infty} \frac{7}{2^j} &= 7\sum_{j=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^j && \frac{1}{2}<1\Rightarrow \text{converge} \\<br /> &= 7\left(\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}\right) = 14<br /> \end{aligned}<br />$$

siguiente

$$\displaystyle<br /> \begin{aligned}<br /> \sum_{j=2}^\infty \frac{3}{4^j} &= 3\sum_{j=2}^\infty \left(\frac{1}{4}\right)^j && \frac{1}{4}<1 \\<br /> &= 3\left[-1-\frac{1}{4}+\sum_{j=0}^\infty \left(\frac{1}{4}\right)^j \right] \\ <br /> &= 3\left[-\frac{5}{4} + \dfrac{1}{1-\frac{1}{4}}\right] = \frac{1}{4}<br /> \end{aligned}<br />$$

El procedimiento espero que lo hayas entendido, es posible que me haya equivocado en el cálculo, compruébalo e intenta hacerlo tú mismo.

2) Que esté acotada una sucesión no significa que sea convergente, de hecho la sucesión $a_n= \sin(n\pi)$ es acotada ($a_n\in [-1,1]$) pero no es convergente, sinó oscilante.

A simple vista no sé cómo hacerlo, normalmente el procedimiento sería ver si es monótona creciente/decreciente y si está acotada superiormente/inferiormente, entonces como es una sucesión que está definida sobre las reales tiene límite, y siendo éste único podemos suponer que es $L$ y operamos algebraicamente despejandolo de una ecuación.

Pero en estos casos necesitarías, si bien recuerdo, una condición inicial de la cual partir, la cual no das. Lo único que se me ocurre es ver si es una sucesión de Cauchy:

Habría que ver que para cualquier $\varepsilon$ existirá siempre un $n_0$ tal que si $n, m \ge n_0$ entonces $|a_m-a_n|<\varepsilon$.

$$\displaystyle <br /> \begin{aligned}<br /> |a_m-a_n| &= |\sin(m)-\sin(n)| = \left|2\cos\left(\frac{m+n}{2}\right)\sin\left(\frac{m-n}{2}\right)\right| <br /> \end{aligned}<br />$$

Y nada más, de momento.

1) Creía que me costaría más pero me parece ya haber visto la solución, usaré el método comentado anteriormente:

$$\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \le \frac{a_n+a_n}{2} = a_n$$

Por tanto $a_n$ es monótona decreciente, y sabemos que está acotado inferiormente por cualquier $b_n$, por lo tanto tiene límite, llamémosle $a$.

$$\displaystyle b_{n+1} = \sqrt{a_n\cdot b_n} \ge \sqrt{b_n\cdot b_n} = b_n$$

Por tanto $b_n$ es monótona creciente, y está acotada superiormente por cualquier $a_n$, por lo tanto tiene límite, llamémosle $b$. (Nota que para este apartado es importante que $a,b>0$)

Y ahora para cualquiera de las dos sucesiones podemos ver la igualdad de los límites:

$$\displaystyle <br /> \begin{aligned}<br /> \lim_n a_{n+1} &= \lim_n \frac{a_n + b_n}{2} \\<br /> a &= \frac{a + b}{2} \Leftrightarrow a = b<br /> \end{aligned}<br />$$

ó

$$\displaystyle <br /> \begin{aligned}<br /> \lim_n b_{n+1} &= \lim_n \sqrt{a_n\cdot b_n} \\<br /> b &= \sqrt{a\cdot b} \\<br /> b^2 &= ab && \text{como $b\neq 0$ podemos dividir por $b$} \\<br /> b &= a<br /> \end{aligned}<br />$$

¡Saludos!