1r ciclo Resolver ecuaciones

[skinner]

Buenas. Me gustó el siguiente ejercicio, cogido de unas olimpiadas:

Irlanda 1993).- Los números reales $\alpha$ y $\beta$ verifican:

$$\dst \left\{ \alpha^3-3\alpha^2+5\alpha-17=0 \right\} ; \left\{ \beta^3-3\beta^2+5\beta+11=0 \right\}$$

Calcule $\alpha+\beta$

He intentado resolverlo gráficamente, también he intentado graficar los polimonios y utilizar alguna técnica analítica, pero este ejercicio se me escapa de las manos (debido principalmente a mi escasa experiencia en ejercicios de este tipo)

¿Me podéis dar alguna pista?

Un saludo!!

[rarar]

Re: Resolver ecuaciones

$\alpha^3+\beta^3-3(\alpha^2+\beta^2)+5(\alpha+\beta)-6=0$
$(\alpha+\beta)^3-3 \alpha^2 \beta-3 \alpha \beta^2-3[(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta]+5(\alpha+\beta)-6=0$

$\text{Sea: }x=\alpha+\beta \Rightarrow (x^3-3x^2+5x-6)-3 \alpha^2 \beta-3 \alpha \beta^2+6 \alpha \beta=0$
Una posible solución es:

$(x^3-3x^2+5x-6)=0\Rightarrow x=2$
$-3 \alpha^2 \beta-3 \alpha \beta^2+6 \alpha \beta=0\Rightarrow 6 \alpha \beta=3 \alpha^2 \beta+3 \alpha \beta^2\Rightarrow 2=\alpha+\beta$
Un cordial saludo.

[juantv]

Re: Resolver ecuaciones

el método tedioso seria resolver cada ecuación cubica por el método de cardano y te saldrían "todas" las posibles soluciones.

[skinner]

Re: Resolver ecuaciones

Muchísimas gracias a los dos por las técnicas de resolución.

Rarar, tengo una pregunta: ¿sólo hay una solución para $\alpha + \beta$? Yo creo que no, pues también podría ocurrir que el polinomio en $x$ sea el negativo del polinomio en $\alpha$ y $\beta$, por lo tanto en las olimpiadas habría que poner sólo una solución? ¿O el conjunto de soluciones?

Un saludo y gracias de nuevo!

[Arahuan]

Re: Resolver ecuaciones

Si hay una única solución α+β, si de reales se trata.

Para utilizar el método de Cardano, eliminamos el término cuadrático, por ejemplo de este modo:

(α-1)³ + 2(α-1) – 14 =0

(β-1)³ + 2(β-1) + 14 = 0

Sea x = α-1
y = β-1

Luego α+β = x+y+2

En este momento y abusando de la experiencia te puedo asegurar (y se puede demostrar), que las soluciones de la ecuación ax³+bx=c son idénticas pero con el signo contrario en la parte real a las soluciones de la ecuación ax³+bx=-c, luego para verificar la solución de rarar, se tiene que cumplir que solo haya una solución real y por tanto las otras dos complejas, de este modo la única distribución posible seria tomando las soluciones en ambas ecuaciones de tal modo que la parte imaginaria se aniquile.

Luego:

x³+2x=14 solo tiene una solución real y por tanto
y³+2y=-14 también

Luego α+β = 2, por que x = -y para toda pareja que al sumar aniquile su parte imaginaria.

Un saludo, te debo las demostraciones.

[skinner]

Re: Resolver ecuaciones

Magnífica respuesta, muchas gracias