Secundaria Inducción Completa

[Deuti]

Buenas tardes, soy nuevo en vuestro enriquecedor foro dedicado a la física. tengo una dudilla sobre inducción completa y acudí a esta sección del foro en busca de orientación, espero conseguir la misma.

Debo demostrar por inducción completa que:

${(2n)}^{2 }$ = $\frac{2n (n+1) (2n+1)}{3 }$

[Arri]

Re: Inducción Completa

Hola, Deuti:

¿Cuál es exactamente la duda que tienes?

¡Un saludo!

[Deuti]

Re: Inducción Completa

Buenas, Arri. ¿Cómo te va? Te explico detalladamente el problema.

El primer paso es demostrar que para n = 1 se cumple la igualdad. (Muy fácil)

${(2*1)}^{ 2}$ $= \frac{2(1) (1+1) (2*1 + 1)}{ 3}$

$4 = \frac{(2)(2)(3)}{3 }$

$4 = \frac{12}{ 3}$

$4 = 4$ Se cumple!

El segundo paso es el mas complicado, y dice asi:

Para $n = h$

${(2h)}^{2 }$ $= \frac{2h (h+1) (2h+1)}{3 }$ a esta igualdad se le llamará la Hipótesis Inductiva, que utilizaré mas adelante.

ahora debemos sustituir $n = h+1$

Dejamos el primer término del miembro izquierdo de la igualdad y le sumamos la primera sustitución de $n=h+1$

${(2h)}^{2 } + {(2*h+1)}^{2 } = \frac{2*(h+1)*(h+1+1)(2*(h+1)+1)}{3 }$

Resolviendo:

${(2h)}^{2 } + {(2h+2)}^{2 } = \frac{(2H+2)*(h+2)*(2H+3)}{3 }$ a esta ecuación se le denomina Tesis inductiva.

Nota: Donde coloqué "H" tengo dudas si se opera de esa forma en esos casos respectivos.

...Continuo

El siguiente paso es sustituir la Hipotesis inductiva en la Tesis inductiva, es decir, el ${(2h)}^{2 }$ lo sustituyo por $\frac{2h (h+1) (2h+1)}{3 }$, quedan asi, según mi procedimiento:

$\frac{2h (h+1) (2h+1)}{3 }+ {(2h+2)}^{2 } = \frac{(2H+2)*(h+2)*(2H+3)}{3 }$

Trabajo en el miembro izquierdo resolviendo la fracción

$\frac{2h (h+1) (2h+1) + {3(2h+2)}^{2 } }{3 } = \frac{(2H+2)*(h+2)*(2H+3)}{3 }$

ACA ES DONDE TODO SE ME COMPLICA:

Debo, algebraicamente,desarrollar el lado izquierdo para llegar al lado derecho. He factorizado pero no me sale, lo veo complicado para mi. Espero su clarificadora ayuda en este caso, pueden repasar paso a paso lo que he hecho por si he cometido algún error. Agradezco vuestra ayuda.

[Arri]

Re: Inducción Completa

Hola, Deuti:

Me va bien, gracias: de exámenes y eso, pero contento XP.

Hay dos cosas que me hacen arquear la ceja en este post: una es que el planteamiento que haces me resulta un poco raro (o te has liado o no estoy acostumbrado a tratar estos problemas así); otra es que, creo, la propiedad que dices no se puede demostrar, porque es mentira.

A mí me han enseñado a hacer los problemas de inducción de forma similar a ti (pero en algo no coincidimos, claro). Te digo cómo los suelo hacer:

1)Verificamos si la hipótesis es cierta para n=1. (Hasta aquí estamos igual).

En este caso, la propiedad es:

$(2n)^2=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

Un detallito: ten cuidado con los paréntesis, porque yo había entendido al principio que la propiedad era $2n^2=...$, y $2n^2\neq(2n)^2$. Tal como lo pusiste en el primer post, resultaba pelín confuso .

Entonces, para $n=1$:

$(2\cdot 1)^2=\frac{2\cdot 1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{3}=4$

Se cumple.

Dado esto, establecemos la hipótesis de inducción: asumimos que se cumple para un n:

$(2n)^2=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

Y veremos si, cumpliéndose esto, la propiedad se verifica para el número siguiente (n+1):

$(2(n+1))^2=\frac{2(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{3}$

Creo que te lías un poco en dónde meter la hipótesis y el resultado al que quieres llegar, o al menos eso creo: quizá el método que propones funcione, pero a mí me ha resultado un poco confuso .

Pero vaya, yo lo que haría es partir de $(2(n+1)^2)$ y operar:

$(2(n+1))^2=4\cdot(n^2+2n+1))=4n^2+8n+4=(2n)^2+8n+4$

Por la hipótesis de inducción $\left((2n)^2=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}\right)$, tenemos:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y de aquí desarrollaría hasta obtener:

$(2(n+1))^2=\frac{2(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{3}$

Sin embargo, tratando de llegar a ese resultado no he conseguido nada. Luego he pensado ¿será verdad esta propiedad? Y tengo la sensación de que no porque, si pruebas para n=2, por ejemplo:

$(2\cdot2)^2=16$
$\frac{2\cdot2(2+1)(2\cdot2+1)}{3}=\frac{4\cdot3\cdot5}{3}=20$
$16\neq20$

O sea, que algo falla aquí...

¡Saludos!

[Deuti]

Re: Inducción Completa

Buenas tardes, Arri. Ante todo gracias por tomar parte de tu tiempo para esta ayuda que considero especial y muy importante. Considero tu método muy apropiado y para nada errado como fórmula para resolver el problema, pero debo continuar con el procedimiento ya establecido por el prof, pues asi lo desea y, porque de esa forma he resuelto otros problema. Te detallo ejemplo de uno de ellos.

Demostrar que:

${(2n-1)}^{2 }$ $= \frac{n (2n+1) (2n-1)}{3 }$

${(2*1-1)}^{ 2} = \frac{1 (2*(1)+1) (2*(1)-1)}{3 }$

${1}^{2 } = \frac{(1)(3)(1)}{3 }$

$1=1$

Para n=h

${(2h-1)}^{2 } = \frac{h(2h+1)(2h-1)}{ 3}$ (1)

dejo el primer término igual y le suma $n = h+1$

${(2h-1)}^{2 } + {\left[ 2 (h+1) -1 \right] }^{ 2} = \frac{(h+1) \left[ 2(h+1)+1 \right] \left[ 2(h+1)-1 \right] }{ 3}$

Resolviendo me queda:

${(2h-1)}^{2 } + {(2h+1)}^{2 } = \frac{(h+1) (2h+3)(2h+1)}{3 }$

Sustituyendo (1) quedaria:

$\frac{h(2h+1)(2h-1)}{ 3}+{(2h+1)}^{2 }=\frac{(h+1) (2h+3)(2h+1)}{3 }$

Resolviendo la fracción...

$\frac{h(2h+1)(2h-1) + {3 (2h+1)}^{ 2} }{3 } = \frac{(h+1) (2h+3)(2h+1)}{3 }$

Ahora desarrollo el lado izquierdo para llegar al derecho. Para ello debo aplicar factorización

veo que tengo $\left( 2h+1 \right)$ repetido, por lo que haré factor común $\left( 2h+1 \right)$

Atento:

$\frac{h(2h+1)(2h-1) + {3 (2h+1)}^{ 2} }{3 }$ $=$ $\frac{\left( 2h+1 \right)* \left[ h(2h-1) \right] + 3 \left( 2h+1 \right) }{3 }$

Ahora

$\frac{\left( 2h+1 \right)* \left[ h(2h-1) \right] + 3 \left( 2h+1 \right)}{3 }$ $=$ $\frac{\left( 2h+1 \right)* \left[ h(2h-1) \right] + 6h+3}{ 3}$

$=$$\frac{ \left( 2h+1 \right) * {2h}^{2 } -h + 6h + 3}{3 }$

$\frac{= \left( 2h+1 \right) * {2h}^{2 } +5h+3}{3 }$

Resolviendo el polinomio tendria ${h}_{1 } = -1$ y ${h}_{ 2} = -\frac{3}{ 2}$

regreso de nuevo y finalmente obtengo:

$\frac{\left( 2h+1 \right) \left( h+1 \right) \left( 2h+3 \right) }{ 3}$ que es exactamente igual a lo que queria demostrar. Fin

Espero te sirva de guía, Arri.