Secundaria Ecuación

[Deuti]

Os pido ayuda con esta sencilla ecuación. Diganme en que estoy fallando:

$\frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x-3} }{\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3} } = 2$

Lo primero que hice fue racionalizar el denominador multiplicando por la conjugada $\sqrt{x+5} +\sqrt{x-3}$

$\frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x-3} }{\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3} } . \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x-3} }{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-3} }= 2$

$\frac{{(\sqrt{x+5} )}^{2 } +{(\sqrt{x-3}) }^{2 } }{{(\sqrt[]{x+5}) }^{2 } -{(\sqrt{x-3}) }^{2 } }=2$

$\frac{x+5+x-3}{x+5-x+3 } =2$

$\frac{2x+2}{ 8} =2$

$2x = 14$

$x=7$

Verificando me doy cuenta que ese valor de X es errático no cumpliéndose la igualdad. ¿Qué hice mal?

[angel relativamente]

Re: Ecuación

Tienes un error de operaciones.
¿De dónde sacas que $(a+b)\cdot(a+b)=a^2+b^2$

Si haces la identidad notable queda que $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Revisa ese numerador.

Ah, y aunque el método no es incorrecto, creo que es mas sencillo multiplicando ambos miembros por $\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}$ y reordenando.

Saludos,

[Deuti]

Re: Ecuación

$\frac{\left( x+5 \right) + 2 \left( \sqrt{x+5} \right) \left( \sqrt{x-3} \right) + \left( x-3 \right) }{x+5-x+3 } = 2$

Me imagino que debe quedar de esta forma.

[angel relativamente]

Re: Ecuación

de esa forma queda, en efecto.

Saludos

[Deuti]

Re: Ecuación

Continuaré para dar fin a el problema.

[angel relativamente]

Re: Ecuación

La solución es 4, por si te sirve de comprobación.

Pero ya digo, es más sencillo multiplicar ambos miembros por $\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}$ y te queda algo así como:

$\sqrt{x+5} =3\sqrt{x-3}$

que elevando al cuadrado se resuelve en seguida porque queda de 1er grado.

De nada.

Saludos,

[Deuti]

Re: Ecuación

Ufff, Angel relativamente que fácil lo has resuelto. Grande. La verdad es que me hecho un lio con el procedimiento. Me gustaría conocer tu procedimiento completo con ambos forma (la que sugieres y la que estaba desarrollando). Ya he comprobado tu solución y efectivamente es 4.

[angel relativamente]

Re: Ecuación

Por mi método es cortito.

$\dfrac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x-3} }{\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3} } = 2$

Multiplicamos ambos miembros por el denominador:


$\sqrt{x+5} +\sqrt{x-3} = 2\left(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}\right)$

Operando llegas a:

$\sqrt{x+5} =3\sqrt{x-3}$



Elevando ambos miembros al cuadrado:

$x+5 =9(x-3) \; \Rightarrow \; x+5=9x-27 \; \Rightarrow \; 8x=32 \; \Rightarrow \; x=4$

Por tu método es mas largo pero sale

Una vez llegas a:

$\dfrac{\left( x+5 \right) + 2 \left( \sqrt{x+5} \right) \left( \sqrt{x-3} \right) + \left( x-3 \right) }{x+5-x+3 } =2$

$\dfrac{\left( x+5 \right) + 2 \left( \sqrt{x+5} \right) \left( \sqrt{x-3} \right) + \left( x-3 \right) }{8} = 2$

Operas:

$2x+2+ 2 \left( \sqrt{x+5} \right) \left( \sqrt{x-3} \right) =16$

Dividiendo entre 2:

$x+1+ \sqrt{x+5} \sqrt{x-3} =8$

Reordenando:

$x-7=-\sqrt{x+5} \sqrt{x-3}$

Elevando al cuadrado:

$(x-7)^2=(x+5)(x-3)$

Operando:

$x^2-14x+49=x^2+2x-15$

De donde ordenando:

$16x=64 \; \Rightarrow \; x=4$

Saludos,

Y no es por sonar maleducado, pero no te cuesta nada pulsar el botón gracias que hay debajo de los mensajes. Para darle valor y credibilidad al sistema de reputación del foro, más que nada.
Saludos,

[Deuti]

Re: Ecuación

Ufff, angel relativamente, primero te doy las gracias por la grandisima ayuda, muy amable de tu parte. Segundo te queria comentar que soy rnuevo en el foro, lo puedes verificar por mis escuetos 10 post apenas y por mi fecha de registro (Junio 2012), la verdad no quise ser mal educado, sino que desconocia que podia darse gracias de esa forma, por ello sólo te la expresaba de forma escrita siempre, pero descuida, tu ayuda es muy bien reconocida por este humilde servidor. Mil gracias.

[angel relativamente]

Re: Ecuación

No hay de qué hombre. Suponía que desconocías el botón, tranquilo. No es tampoco por ese tipo de gracias por el que ayudo.
Para cualquier duda aquí estamos

Un saludo