Secundaria Cambiar límites de integración

[angel relativamente]

Saludos a todos.
Mientras me proponía hacer una demostración me ha surgido una duda que voy a intentar generalizar:

Sean $x,z,w$ tres funciones que dependen de $y$ tales que $\dfrac{\dd x }{\dd y}=z$ y $\dfrac{\dd w}{\dd y}=x$

Entonces $\dst \int_{w(0)}^{w} z \cdot \dd w = \dst \int_{w(0)}^w \dfrac{\dd x }{\dd y} \cdot \dd w$

Y puesto que $\dfrac{\dd x }{\dd y} \cdot \dd w = \dfrac{\dd w }{\dd y} \cdot \dd x =x\cdot \dd x$

Mi duda es: Cuando sustituimos eso en la integral, ¿hemos de sustituir los límites de integración por $x(0)$ y $x$?

Es decir, que si $\dst \int_{w(0)}^w \dfrac{\dd x }{\dd y} \cdot \dd w =\dst \int_{x(0)}^x x \cdot \dd x$

He visto que eso se hace así, pero necesito una justificación.

Saludos y muchas gracias

[guibix]

Re: Cambiar límites de integración

Mi duda es: Cuando sustituimos eso en la integral, ¿hemos de sustituir los límites de integración por $x(0)$ y $x$?

Es decir, que si $\dst \int_{w(0)}^w \dfrac{\dd x }{\dd y} \cdot \dd w =\dst \int_{x(0)}^x x \cdot \dd x$

He visto que eso se hace así, pero necesito una justificación.

Saludos y muchas gracias

Sí claro, los límites de integración SIEMPRE son sobre la variable del diferencial de la integral.

Por regla general, las integrales definidas son una extrapolación de la integral indefinida. Por ejemplo

$$\int_a^bf(x)\dd x=\int f(b)\dd x-\int f(a)\dd x,$$

fíjate que $a$ y $b$ tienen que ser dos valores de $x$.

Otro caso típico es en la definición de la variación de la energía cinética

$$\begin{aligned}<br /> \int_{K_0}^K\dd K & =\int_{x_0}^x \dfrac{\dd p}{\dd t}\dd x,\\<br /> & =\int_{x_0}^x m\dfrac{\dd v}{\dd t}\dd x,\\<br /> \Delta K & =\int_{v_0}^v p dv,<br /> \end{aligned}$$

o si queremos también se puede expresar así:

$$\Delta K=\int_{p_0}^p v dp.$$

Como ves, lo podemos expresar como queramos, pero siempre respetando esa "regla". Además te indica cual es el diferencial que integramos. En el caso de la primera ecuación, sabríamos que integramos sobre $\dd x$, porqué por convención, ponemos el diferencial a integrar al final. Pero matemáticamente, el $\dd p$ y el $\dd x$ son posibles integrables indistintos. Lo que realmente te dice donde estamos integrando, es la variable de los límites de integración.

En realidad todo dice "lo mismo". Que en el instante inicial tenemos una posición inicial, una velocidad inicial y un momento inicial y que están relacionados con la posición, velocidad y momento finales por la función que tengamos entre manos. El resultado de integrar en cada uno de los "caminos" es encontrar la relación de la $K$ con cada una de esas magnitudes. Por eso no tiene sentido que si buscamos la relación con la velocidad, tengamos una $x$ como límite de integración.

Saludos.

[angel relativamente]

Re: Cambiar límites de integración

Muchas gracias guibix, creo que ya lo voy entendiendo

Según he entendido, podemos afirmar que:

$\dst \int_{x_0}^x\dfrac{\dd p}{\dd t}\dd x =\int_{p_0}^p\dfrac{\dd p}{\dd t}\dd x$

En el primero estamos integrando con respecto a x, mientras que en el segundo lo hacemos con respecto a p. Pero era precisamente esa igualdad la que temía, ya que estamos integrando la misma expresión pero con distintos límites. Aunque ahora que lo pienso, es el mismo paso que se hace cuando:

$\dst \dd K=\dfrac{\dd p}{\dd t}\dd x \; \Rightarrow \; \int_{K_0}^K \dd K=\int_{x_0}^x \dfrac{\dd p}{\dd t}\dd x$

Hacemos la integral en ambos miembros, pero cada una con su límite de integración.
No obstante, sigo sin creérmelo del todo. Supongo que debe de haber una relación entre $K_0 , K$ y $x_0 , x$ para que la igualdad se considere cierta. Es decir, ¿a qué consideramos $K_0$ y $x_0$? Se supone que ambas dependen de $t$, así que nos estamos refiriendo a $K$ y a $x$ cuando $t=0$. Y ahora, si se me permite generalizar (porque no se me ocurre un ejemplo físico). Supongamos que tenemos la función $x(y)$ y la función $z(w)$. Entonces si $\dd x = \dd z$, no podremos afirmar que $\dst \int_{x_0}^x \dd x = \int_{z_0}^z \dd z$, puesto que $x(0)$ es cuando $y=0$ mientras que $z(0)$ es cuando $w=0$.

No sé si he dicho una tontería.

Saludos y muchas gracias

[guibix]

Re: Cambiar límites de integración

Supongamos que tenemos la función $x(y)$ y la función $z(w)$. Entonces si $\dd x = \dd z$, no podremos afirmar que $\dst \int_{x_0}^x \dd x = \int_{z_0}^z \dd z$, puesto que $x(0)$ es cuando $y=0$ mientras que $z(0)$ es cuando $w=0$.

Está claro que para la energía, todo está relacionado con el tiempo y todas las magnitudes iniciales corresponden con el tiempo inicial, pero recuerda que el tiempo inicial no tiene porqué ser $t_0=0$. En tu ejemplo $x_0=x(y_0)$ (donde $y_0$ puede tomar cualquier valor). Incluso si $x(y)$ y $z(w)$ son idénticas con $x=z$ e $y=w$, si $y_0\neq w_0$ entonces la integral no tiene ningún sentido, ya que estarías buscando una área a lo largo de diferentes intervalos de una misma curva.

Además si $\dfrac{\dd x(y)}{\dd z(w)} =1$, significa que $y=f(w)$. Las dos variables tienen que tener alguna relación entre ellas, por lo que también se reduce a una sola variable independiente. Y debería cumplir con $y_0=f(w_0).$

O eso es lo que me parece a mi. También podría estar diciendo alguna tontería


Salud!!

[angel relativamente]

Re: Cambiar límites de integración

Está claro que para la energía, todo está relacionado con el tiempo y todas las magnitudes iniciales corresponden con el tiempo inicial, pero recuerda que el tiempo inicial no tiene porqué ser $t_0=0$. En tu ejemplo $x_0=x(y_0)$ (donde $y_0$ puede tomar cualquier valor).

Toda la razón, quería decir $t=t_0$

Además si $\dfrac{\dd x(y)}{\dd z(w)} =1$, significa que $y=f(w)$. Las dos variables tienen que tener alguna relación entre ellas, por lo que también se reduce a una sola variable independiente. Y debería cumplir con $y_0=f(w_0).$

Vale, lo primero lo he entendido.
Respecto la conclusión que extraes al final, es que si $\dst \dd x =\dd z$, entonces podremos afirmar que:

$\dst \int_{x_0}^x \dd x = \int_{f(x_0)}^{f(x)} \dd z$

¿O lo he entendido mal?
Saludos y muchas gracias

[guibix]

Re: Cambiar límites de integración

Exacto. Si los diferenciales son iguales, entonces $z=f(x)$ con lo que $w=F(y)$. Luego tienen que coincidir las partes iniciales con $z_0=f(x_0)$ y $w_0=F(y_0)$.

Saludos.