1r ciclo Demostrar esta desigualdad

[skinner]

Perdonen, estoy un poco ofuscado hoy, ya que llevo estudiando métodos desde las 6 de la mañana sin parar. He llegado a un punto en el que necesito demostrar la siguiente desigualdad:



Ojala y puedan ayudarme.

Aprovecho para preguntar si conoce alguno de Ustedes una forma geométrica de demostrar la desigualdad triangular siguiente:



Un saludo

[arreldepi]

Re: Demostrar esta desigualdad

Para el primero te dicen algo sobre el signo de b? Sabes si es positivo o negativo?

Para el segundo piensa en el teorema de Pitágoras.

Saludos!

[skinner]

Re: Demostrar esta desigualdad

Gracias por la temprana respuesta Arreldepi:

1) No, no dicen nada sobre b. Al parecer es una regla general, y la vi en wikipedia (aquí)

2) En el teorema de Pitágoras... de acuerdo, la hipótenusa es menor a la suma de los catetos. Y la hipotenusa al cuadrado es la suma de los cuadrados de los catetos. Pero con eso sólo llego a (a²+b²)<(a+b)², lo cual es lógico pero el resultado que quiero obtener es otro. ¿Dónde me he perdido?

Un saludo

[arreldepi]

Re: Demostrar esta desigualdad

Sobre el teorema de pitágoras, piénsalo como si fuesen vectores: tienes dos vectores perpendiculares $\vec a$ y $\vec b$, si los sumamos tenemos un vector $\vec c = \vec a+\vec b$.

El módulo de $\vec c$ es $c = |\vec a + \vec b|$ y la suma del módulo de $\vec a$ y el módulo de $\vec b$ es un número real $d = |\vec a| + |\vec b|$. Como la hipotenusa es menor que la suma de los catetos: $c<d$, por tanto:

$$|\vec a|+|\vec b| \geq |\vec a + \vec b|$$

y esto es válido para cualquier dimensión.

Sobre el primero, pensaré algo más, porque no termino de ver clara la primera de las dos condiciones.

Saludos!

[skinner]

Re: Demostrar esta desigualdad

Muchas gracias de nuevo, arreldepi

Yo también me quedé un poco "rayado" con esa desigualdad, por eso inicié el post (por eso y por lo de la desigualdad triangular, que ya me ha quedado claro)

Un saludo!

[Al2000]

Re: Demostrar esta desigualdad

Para la primera, usa la definición de valor absoluto: $\dst |a| = \left \{\begin{aligned}-a& & &\text {si} & a &< 0 \\ a& & &\text {si} & a &\geqslant 0\end{aligned}\right .$

Saludos,

Al