1r ciclo Demostrar expresiones para n natural

[Sheldoniano]

Hola,
en análisis matemático nos ha propuesto algunas demostraciones de fórmulas. En concreto os pido consejo por la siguiente:

p(n): $1^3+2^3+\ldots+n^3=(1+2+\ldots+n)^2$

Para ello por inducción hago n=1 y se confirma p(n)
Al hacer p(n+1) obtengo:

$1^3+2^3+\ldots+n^3+(n+1)^3=(1+2+\ldots+n+(n+1))^2$

A partir de aquí el profesor nos ha recomendado usar la famosa fórmula de Gauss para sumas de n términos: $\dst{1+2+\ldots+n= \frac{n(n+1)}{2}}$

Obtengo:

$\dst{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+ (n+1)^3=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2}$ ( este último cambio ya se usó también para demostrar la fórmula de Gauss)

Bien a partir de ahí empiezo a multiplicar y desarrollar pero la verdad es que no me sale que sea igual.

Algún error-pista-consejo?

Gracias como siempre

[angel relativamente]

Re: Demostrar expresiones para n natural

Mi único consejo es que revises las cuentas. El planteamiento lo veo correcto, y operando he llegado a que sí se cumple la igualdad.

Ambos miembros me quedan algo del tipo $\dfrac{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4}$

Saludos,

[Sheldoniano]

Re: Demostrar expresiones para n natural

Gracias Ángel, ahora lo revisaré, será de esas veces en las que te quedas atascado y luego es una tontería. En fin suerte por Barcelona!

[guibix]

Re: Demostrar expresiones para n natural

Buenas,

Inténtalo a partir de sacar factor común de $(n+1)^2$:

$$\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+ (n+1)^3=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2$$

$$(n+1)^2\left(\frac{n}{2}\right)^2+ (n+1)^2(n+1)=(n+1)^2\left(\frac{n+2}{2}\right)^2$$

A partir de aquí es muy fácil

Saludos.

[juantv]

Re: Demostrar expresiones para n natural

$\dst \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + (n+1)^3 = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2$

$\dst \frac{n^4 + 2n^3 + n^2 + 4n^3 +12n^2 +12n +4}{4} = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2$

$\dst \frac{(n+1)^2 (n+2)^2}{2^2}=\left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2$

[Sheldoniano]

Re: Demostrar expresiones para n natural

Gracias a todos, era un error de desarrollo de paréntesis, hoy con la cabeza despejada lo he encontrado.