Secundaria Sobre sistemas de ecuaciones

[eduardo2384]

Saludos amigos, quisiera que me ayudaran con éste problema con el que no doy para nada:

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Si las ecuaciones :

$ax+by=1$

$cx^2+dy^2=1$ tienen solamente una solución, calcular:

$\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{d}$

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Yo entiendo que como deben tener una solucion entonces es como intersectar las curvas de ambas ecuaciones y me debe generar solo un punto. Entonces si reemplazo: $y=\dfrac{1-ax}{b}<br />$ en la segunda ecuación para obtener: $cx^2+d\left(\dfrac{1-ax}{b}\right)^2=1$ de donde:

$(b^2c+d^2a)x^2-2adx+d-b^2=0$ de donde el discriminante debe ser cero para tener una sola solución:

$<br /> 4a^2d^2=4(b^2c+d^2a)(d-b^2)$

$a^2d^2=(b^2c+d^2a)(d-b^2)$

lo cual no me aporta mucho para la solución. ¿que más puedo hacer?

Gracias

[guibix]

Re: Sobre sistemas de ecuaciones

Buenas Eduardo,

Matemáticamente, no se me ocurre la solución, pero estudiándolo gráficamente puede que te ayude a plantearlo.

La primera ecuación es una recta de pendiente $\dfrac a b$ que corta los ejes en $x=\dfrac 1 a$ y en $y=-\dfrac 1 b$.

La segunda es una elipse centrada en el origen, con el semieje en $x$ de $c^{-1/2}$ y el semieje en $y$ de $d^{-1/2}.$

Entonces, si el sistema solo tiene una solución significa que la recta es tangente al elipse. Eso también significa que para cualquier punto de la elipse existe una y solo una recta tangente.

Creo que con esto se podrían plantear las ecuaciones adecuadas, pero no he pensado el como (dejo que lo piense tu )

Un saludo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Sobre sistemas de ecuaciones

$cx^2+d\left(\dfrac{1-ax}{b}\right)^2=1$ de donde:
$(b^2c+d^2a)x^2-2adx+d-b^2=0$ de donde el discriminante debe ser cero para tener una sola soluc

Hola Eduardo, me parece que tus razonamientos estan bien, el problema esta en esta cita, creo que deveria ser: $(b^2c+da^2)x^2-2adx+d-b^2=0$

Saludo
Jose

[eduardo2384]

Re: Sobre sistemas de ecuaciones

Pero a pesar de corregir ese error involuntario al teclear (lo habia hecho bien en mi hoja), no logro resolver el problema.

Según el autor del problema, debe salir 1, pero aun no he logrado hacerlo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Sobre sistemas de ecuaciones

A mi me salió también 1, pero veamos: $4a^2d^2=4(b^2 c+d a^2)(d-b^2)\Rightarrow$
$a^2d^2=b^2cd-b^4c+a^2d^2-a^2b^2d\Rightarrow$

$0=b^2(cd-b^2c-a^2d)\Rightarrow$

$a^2d+b^2c=cd\Rightarrow$

$\dst\frac{a^2}{ c}+\frac{b^2}{d }=1$

Saludos
Jose

[eduardo2384]

Re: Sobre sistemas de ecuaciones

Más fácil no podía ser. Muchas gracias por la aclaración.