2o ciclo Dominio de integracion

[Julián]

Dada la siguiente integral definida

${\int \int}_{R} y({x}^{3} - 12x) d A$

donde

$R=[-2,1]\times [0,1]$

La región de integración R es el área dada por los vectores <-2,1> y <0,1>

¿cuál de los dos vectores pertenece al $dy$ y cuál a $dx$? ¿y cuál es el eje que tendría que integrar primero?
saludos.

[Aer]

Re: Dominio de integracion

Da igual respecto a cual diferencial integres primero, por el teorema de Fubini se tiene que

$\iint_{R}f(x,y)dA=\int_{c}^{d}\left [ \int_{a}^{b}f(x,y)dx\right ]dy=\int_{a}^{b}\left [ \int_{c}^{d}f(x,y)dy\right ]dx$
[FONT=monospace]
Pero cuidado, esto solo es válido para regiones rectangulares.

También hay un teorema de Fubini más general para regiones un poco más generales:
[/FONT][FONT=monospace]Si $U$ es simultáneamente una región X-proyectable e Y-proyectable, entonces las integrales dobles coinciden:
[/FONT]
[FONT=monospace]$\iint_{U}f(x,y)dA:= \int_{a}^{b}\left [ \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)dy\right ]dx=\int_{c}^{d}\left [\int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y)dx\right ]dy$[/FONT]
[FONT=monospace]
En tu caso como se trata de una región rectangular $[-2,1]\times[0,1]$ entonces x varía de -2 a 1 e y varía de 0 a 1 quedaría por ejemplo
$\int_{-2}^1 [ \int_0^1 y(x^3-12x)dy ]dx = \int_{-2}^1[ \left.\dfrac{y^2}{2}\right|_0^1(x^3-12x)]dx$

y lo que sigue ya es una integral normal y corriente. A veces te será más interesante integrar primero respecto a la otra variable, en este caso escogí integrar respecto a $y$ pues parecía más sencillo.
Saludos.[/FONT]