1r ciclo Resolver inecuación con senos y cosenos

[Sheldoniano]

Hola, esta vez os pido un poco de ayuda con una inecuación a la que llevo un rato dando vueltas y no llego a solución. El enunciado es el siguiente:

Determinar los $x \in [0,2\pi]$ tales que:

$2cos(x)\leqslant\left\vert{} \sqrt{1+sen(2x)}-\sqrt{1-sen(2x)} \right\vert{}\leqslant\sqrt{2}$

Os digo un poco que he hecho:
1.- Elevo al cuadrado y divido entre dos
2.-Vuelvo a elevar al cuadrado y simplifico
3.-Desarrollo el seno doble
4.-Pongo todo en función de cosenos
5.-Llego a una expresión del tipo:

$cos^2(x)\leqslant\left\vert{} 1-2cos^2(x)\right\vert{}\leqslant 1$

Voy bien? En tal caso, cómo termino? Saco la solución geométricamente explicada, no sé simplificar eso más llegando a algo útil.

Gracias

[Al2000]

Re: Resolver inecuación con senos y cosenos

Lamento no ayudar, sino mas bien venir a echar sal en la herida La última expresión que escribiste no es cierta. Grafica las funciones si deseas convencerte.

Saludos,

Al

[Sheldoniano]

Re: Resolver inecuación con senos y cosenos

Pff, volveré a repasarlo, ya os cuento

[Al2000]

Re: Resolver inecuación con senos y cosenos



Gráficamente se ve clarito que la solución es $[\frac \pi 4, \frac {7 \pi }4]$ y hallar que esta es la condición para que se cumpla que $2 \cos x \leqslant \sqrt 2$ es inmediato. También es sencillo demostrar que el máximo valor que toma la resta de raices es $\sqrt 2$. Lo que no conseguí fue demostrar que la desigualdad de la izquierda se cumple en el intervalo señalado.

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: Resolver inecuación con senos y cosenos

Sólo contribuiré añadiendo que el primer paso de elevar al cuadrado elimina la parte en la que el coseno es negativo, y seguro que la segunda vez que se eleva al cuadrado también altera la inecuación. Quizá la salida pase previamente por estudiar los intervalos en los que el interior del valor absoluto es negativo y de esa manera evitarlo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Resolver inecuación con senos y cosenos

Hola,

Esta inecuación se simplifica mucho cuando se aplica la definición de valor absoluto $|a|=\sqrt{a^2}$
$2\cos (x)\leqslant\sqrt{2(1-|cos (2x) |)}\leqslant\sqrt{2}$.

Me pareció interesante que en el intervalo $\dst\frac{\pi}{ 4}\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{ 2}$ o $\dst\frac{\pi}{ 2}\leqslant 2x\leqslant \pi$ para $2x$, se cumple la identidad $cos^2(x)=\dst\frac{1}{2 }+\frac{\cos (2x)}{2 }$ en la desigualdad del lado izquierdo.

Saludos
Jose