2o ciclo Integral indefinida

[RicardoDelfin]

Hola muchachos.

Aquí les traigo una integral indefinida que no logro resolver, y algo me dice que vendrá en mi siguiente práctica.
El problema es en si una integral impropia, pero eso es mas simple, es la integral indefinida la que no me sale
El ver al logaritmo natural junto a un exponente, me lleva a pensar en integración por partes, pero no tuve suerte.

$\int\frac{{x}^{2}}{\sqrt{-lnx}}dx<br />$
Gracias. Espero me puedan ayudar a resolverlo, aun estoy aprendiendo asi que si esta muy sencilla no me apabullen

[[Beto]]

Re: Integral indefinida

Hola, quizás se necesite únicamente un cambio de variable $\dst u=-\ln x\Rightarrow x=e^{-u}~~\text{y}~~-\dd u=\dfrac{1}{x}\dd x\Rightarrow\dd x=-x\dd u$, luego si reemplazar en tu integral tienes que:

$$\int\frac{e^{-2u}}{\sqrt{u}}(-e^{-u}\dd u)=-\int u^{-1/2}e^{-3u}\dd u$$

Luego puedes integrar por partes.

Puedes leer esto http://forum.lawebdefisica.com/conte...y-como-integro para ver algunos otros criterios de integración.


EDITO: Acabo de ver mejor la integral y me parece que tendrías que tener en cuenta la siguiente función http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_error

[RicardoDelfin]

Re: Integral indefinida

Hola Beto, gracias por responder. El integrar por partes parece un callejon sin salida, el exponente 1/2 hace que la integral empeore.
Acerca de la función gamma, tiene bastante lógica, considerando que lo que me piden es analizar la convergencia o divergencia de la funcion desde 0 a 1.
Y con la sustitución, u= -lnx, el intervalo cambiaria de 0 a oo y tendriamos una función que se asemeja mucho a la gamma. Sin embargo, tengo dudas en como continuar
el analisis de convergencia o divergencia.


EDICIÓN: Si es gamma, ya la comprendi, creo que era eso, mi poca familiaridad con esa función. Ya esta saliendo. En breve coloco mi desarrollo.

[[Beto]]

Re: Integral indefinida

Entonces lo que estás realizando no es una integral indefinida, estás realizando una integral impropia ... si quieres encontrar el criterio de convergencia o divergencia no es necesario que resuelvas la integral, basta con que tengas en cuenta que:

$$0<x~~\text{y}~~0<\frac{x^2}{\sqrt{-\ln(x)}}~~\text{y}~~0<\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{x^2}{\sqrt{-\ln(x)}}\right)$$

Lo cual indica que tu función es estrictamente creciente además de estar en el primer cuadrante, por lo tanto al integrar de cero a infinito tiene que diverger, si realizar una gráfica lo notarás con mayor facilidad

[Jose D. Escobedo]

Re: Integral indefinida

Beto, me da la impresión de que esa integral si converge en el intervalo $0\leqslant x\leqslant1$.
$0\leqslant \dst\frac{x^2}{\sqrt{-\ln x} }\leqslant\dst\frac{1}{\sqrt{1-x} }$ cuando $x\in [0,1]$ y la integral impropia $\dst\int_0^1 \frac{dx}{ \sqrt{1-x}}=2$, es decir que esa integral $\dst\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{-\ln x} }dx<2$.

Saludos
Jose

[[Beto]]

Re: Integral indefinida

Cierto, no había tomado en cuenta que $x=1$ es asíntota, entonces:

$$\int_0^\infty\frac{{x}^{2}}{\sqrt{-\ln x}}\dd x=\int_0^1\frac{{x}^{2}}{\sqrt{-\ln x}}\dd x=-\int_{\infty}^{0} u^{-1/2}e^{-3u}\dd u=\int_{0}^{\infty} u^{-1/2}e^{-3u}\dd u$$

Luego haciendo $v=3u\Rightarrow\dd u=\dfrac{\dd v}{3}$, luego:

$$\begin{aligned}<br /> \int_{0}^\infty u^{-1/2}e^{-3u}\dd u=&\dfrac{1}{3}\int_{0}^\infty \left(\frac{v}{3}\right)^{-1/2}e^{-v}\dd v\\<br /> =&\dfrac{1}{\sqrt{3}}\int_{0}^\infty v^{\frac{1}{2}-1}e^{-v}\dd v\\<br /> =&\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\\<br /> =&\frac{\sqrt\pi}{\sqrt3}<br /> \end{aligned}<br />$$