Secundaria Sobre funciones trigonometricas inversas.

[eduardo2384]

Saludos amigos, aqui con un problema que vi en un libro y me parecio fácil pero no logro resolverlo , dice así:

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¿A que es igual la siguiente expresión $E=\arctan\left(\dfrac{\sqrt{3}}{\csc10^{\circ}-1}\right)$ ?





Respuesta: $\dfrac{\pi}{9}$

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Yo intente pasar a seno el cosecante por lo que obtengo:

$\dfrac{\sqrt{3}}{\csc10^{\circ}-1}=\dfrac{\sqrt{3}\sin10^{\circ}}{1-\sin10^{\circ}}$

El $1$ lo dejo como $\sin90^{\circ}$ entonces:

$\dfrac{\sqrt{3}\sin10^{\circ}}{\sin90^{\circ}-\sin10^{\circ}}$

por transformación a producto:

$\dfrac{\sqrt{3}\sin10^{\circ}}{2\cos50^{\circ}\sin40^{\circ}}=\dfrac{2\sqrt{3}\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}{2\times2\cos50^{\circ}\sin40^{\circ}\cos10^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{3}(2\sin10^{\circ}\cos10)}{2\times2\cos50^{\circ}\sin40^{\circ}\cos10^{\circ}}$

$=\dfrac{\sqrt{3}\sin20^{\circ}}{4\cos50^{\circ}\sin40^{\circ}\cos10^{\circ}}$

$=\dfrac{\sqrt{3}\sin20^{\circ}(2\cos20^{\circ})}{4\cos50^{\circ}\sin40^{\circ}\cos10^{\circ}(2\cos20^{\circ})}$

$=\dfrac{\sqrt{3}\sin40^{\circ}}{8\cos50^{\circ}sin{40}^{\circ}\cos10^{\circ}\cos20^{\circ}}$

$=\dfrac{\sqrt{3}}{8\cos50^{\circ}\cos10^{\circ} \cos20^{\circ}}$

Hasta aqui llego y no se que más hacer ¿que me sugieren?

Gracias

[RACS]

Re: Sobre funciones trigonometricas inversas.

Hola, como queremos demostrar que $E=\tan{20^{\circ}}$,hay que demostrar:

$$\frac{\sqrt{3}\sin{10^{\circ}}}{1-\sin{10^{\circ}}}=\frac{2\sin{10^{\circ}}\cos{10^{\circ}}}{\cos{20^{\circ}}}$$

pero esto e equivalente a:

$$\sqrt{3}\cos{20^{\circ}}=2\cos{10^{\circ}}-2\sin{10^{\circ}}\cos{10^{\circ}}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{20^{\circ}}+\frac{1}{2}\sin{20^{\circ}}=\cos{10^{\circ}}$$

y esto es cierto pues es lo mismo que:

$$\cos{(20^{\circ}-10^{\circ})}=\cos{10^{\circ}}$$

[eduardo2384]

Re: Sobre funciones trigonometricas inversas.

Aunque forzado pero ya tengo la idea para que se vea bien . Gracias.